Die erste Aussage ist falsch: Sei A die Menge der ganzen Zahlen, f(1) = f(3) = 1, f(2n) = 2n und g(n) = 2n für alle n. Dann ist f(g(n)) = 2n,also f \circ g injektiv.
2. Aussage: Sei m \in A, dann gibt es ein n \in A mit f(g(n)) = m, also ist f surjektiv.
3. Aussage: Seien n, m \in A und g(f(n)) = g(f(m)), dann ist f(n) = f(m), also n = m, d.h. g circ f ist injektiv.
4. Aussage: Zu jedem n \in A gibt es ein m \in A mit f(m) = n; weiter gibt es zum m ein r \in A mit g(r) = m, also n = f(g(r)), d.h. f \circ g ist surjektiv.
