Stichwahl zwischen Kandidat A und B mit der Normalapproximation

Question

Hallo!

Ich habe die folgende Aufgabe bearbeitet:

In Phantasia kommt es zur Stichwahl zwischen den Kandidaten A und B. Kandidat A hat 1500 treue Anhänger, Kandidat B ist sich der Stimmen seiner 500 Gefolgsleute sicher. Die restlichen 998000 Wahlberechtigten stimmen unabhängig voneinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit für Kandidat A bzw. B. Schätzen Sie durch Normalapproximation die Wahrscheinlichkeit dafür ab, dass Kandidat A die Stichwahl gewinnt.

Ich habe das Ergebnis $$\frac{1}{2}$$

Hier mein Rechenweg:

Wir gehen davon aus, dass A und B jeweils 499.000 weitere Stimmen erhalten, da sich jeder Wähler für Wahrscheinlichkeit p=0.5 für A oder B entscheidet.

Da wir mit der Normalapproximation abschätzen, benutzen wir den zentralen Grenzwertsatz.

Ich gehe davon aus:

$$P(499.000\leq{S_{n}}\leq{998.000})$$

Nachdem wir äquivalente Umformungen innerhalb von P gemacht haben, um es in Form vom zentralen Grenzwertsatz zu bringen, erhalten wir:

$$P(\frac{499.000-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq{\frac{S_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}}\leq{\frac{998.000-np}{\sqrt{np(1-p)}}})$$ mit den Werten n=998.000 und p=0.5

Jetzt schätzen wir mit dem Satz von De Moivre-Laplace ab und erhalten

$$Φ(\frac{499.000-np}{\sqrt{np(1-p)}})-Φ(\frac{998.000-np}{\sqrt{np(1-p)}})=Φ(999)-Φ(0)=1-0.5=0.5$$

Ist meine Rechnung korrekt? Beste Grüße:)

Answer 1

Der Ansatz ist schon deswegen falsch, weil die Annahme, dass jeder 499.000 Stimmen bekommt, nicht zum gewünschten Ergebnis führt. Es gibt insgesamt eine Million Stimmen. Davon hat Kandidat A schon 1500 Stimmen sicher. Um die Mehrheit zu erlangen, braucht A also mindestens 498501 Stimmen, um dann auf 500.001 Stimme zu kommen. Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass \(P(X\geq 498501)\), wenn \(X\) die Anzahl der Stimmen für A ist. Dafür braucht man auch keinen Grenzwertsatz.

Dass das Ergebnis nicht 1/2 sein, folgt auch direkt daraus, dass A bereits mehr Stimmen hat und somit im Vorteil ist.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort:) Wir waren uns über die Begrenzung unsicher. Wir rechnen das mal durch:)

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Bist du dir sicher, dass das Ergebnis nicht 0.5 ist?

Wir haben gerechnet:

$$P(498501\leq{X_{n}})=P(\frac{498501-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq{\frac{X_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}})=\frac{1}{\sqrt{2pi}}\int \limits_{a}^{\infty}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx≈$$

$$\lim\limits_{b\to\infty}Φ(b)-Φ(\frac{498501-np}{\sqrt{np(1-p)}})=1-Φ(\frac{498501-np}{\sqrt{np(1-p)}})=$$

$$1-Φ(-0.999)=1-(1-Φ(0.999))=Φ(0.999)=0.5$$

(Ab dem Punkt, wo das Ergebnis gerundet ist, benutzen wir eine Abschätzung aus der Vorlesung. Außerdem haben mein Kommilitone und ich das Central Limit Theorem/den Zentralen Grenzwertsatz benutzt).

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Warum so eine komplizierte Rechnung? Du brauchst weder das Integral, noch den Grenzwert. Nutze einfach Moivre-Laplace. Und ganz wichtig: Lies richtig aus der Tabelle ab, denn \(\Phi(1)\approx 0,84134\).

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Hi, danke für die Antwort. Das ist richtig, wir haben den Satz von De Moivre-Laplace benutzt, der ja aus dem zentralen Grenzwertsatz resultiert. Hatte da an De Moivre-Laplace gedacht, aber Zentraler Grenzwertsatz gesagt. Der Satz von De Moivre-Laplace ist doch genau die Abschätzung mit dem Integral (laut unserem Skript). Φ(...) ist ein Resultat aus unserer Vorlesung zur weiteren Abschätzung.

In der Vorlesung hat unser Professor nichts von einer Tabelle erzählt. Ist das realistisch, dass er mit 0,84134 die Stichwahl gewinnt? Ich finde, dass man das schon sagen kann.

Viele Grüße

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Wie ermittelt ihr die Werte denn sonst?

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Uns wurde gesagt, dass es reicht, wenn wir das so stehen lassen. Mein Übungsgruppenleiter rät uns jedoch, dass man sich immer ein Bild davon machen sollte (zumindest bei den Aufgaben und Hausaufgaben), wie die Werte aussehen. In der Klausur (wo wir nichts mitnehmen dürfen), ist das natürlich nicht möglich.

Viele Grüße:)

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Uns wurde gesagt, dass es reicht, wenn wir das so stehen lassen. Mein Übungsgruppenleiter rät uns jedoch, dass man sich immer ein Bild davon machen sollte

Da kann ich nur dem Übungsgruppenleiter uneingeschränkt zustimmen.

Im Optimalfall erscheinen dann in einer Klausur diese Bilder schon im Kopf bevor du sie zeichnen musst.

wie die Werte aussehen. In der Klausur (wo wir nichts mitnehmen dürfen), ist das natürlich nicht möglich.

Du solltest die Normalverteilung skizzieren können (Maßstab ist hier völlig unwichtig) und du solltest auch die Fläche für Φ(1) skizzieren können. Aufgrund der Sigmaregeln, die du auch kennen solltest, kannst du die Fläche auch leicht ermitteln. Dazu brauchst du nur Papier und Bleistift. Keinen Taschenrechner und keine sonstigen Hilfsmittel.

Skizze

Answer 2

Es gibt 1000000 Stimmen. Kandidat A braucht also 500001 Stimmen, um die Wahl zu gewinnen. A hat bereits 1500 Stimmen sicher und benötigt also von den 998000 Stimmen noch 500001 - 1500 = 498501 Stimmen.

n = 998000 ; p = 0.5

μ = n·p = 499000

σ = √(n·p·(1 - p)) = 10·√2495

P(X ≥ 498501) = 1 - P(X ≤ 498500) = 1 - Φ((498500.5 - 499000)/(10·√2495)) = 1 - Φ(-1) = 1 - (1 - Φ(1)) = Φ(1) = 0.8413

Dabei sollte man Φ(1) näherungsweise aufgrund der Sigmaregeln kennen.

Comments

Und welchen Mehrwert gibt die Antwort jetzt? Das ist alles bereits bekannt und die Rechnung wurde auch vom FS schon selbstständig vollzogen.

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Da ich für meine Schüler die Frage als Übungsaufgabe notiert habe und dann auch eine Lösung berechnet und notiert habe.

Da ich persönlich meinen Aufschrieb einfacher zum Nachvollziehen finde als den Aufschrieb von MatheStudentRUB habe ich über Cut & Paste meinen Aufschrieb auch hier reingestellt.

Dabei musst du natürlich meine Meinung nicht teilen.