Sei X eine nichtzufällige nxk Matrix. Sei Y=X*β+u mit E(u)=0. Ein Parametervektor β∈R^k heißt wahrer Wert wenn, E(Y)=X*β gilt.
Zeigen Sie, dass je zwei Lösungen β^_2 bzw. β^_2 der Normalgleichungen für den gewöhnlichen KQ Schätzer die Beziehung X*β^_1=X*β^_2 erfüllen. (Man soll nicht von vollen Rang ausgehen)
Also ich wäre so vorgegangen: X^T*(Y-X*β^_1)=X^T*(Y-X*β^_1) (Also ich setze die jwl Normalgleichungen gleich), weiter umgeformt ergibt sich X^T*X*(β^_1-β^_2)=0. Um jetzt auf X*β^_1=X*β^_2 zu schließen multiplizieren wir beide Seiten mit X ⇒ X*X^T*X*(β^_1-β^_2)=0*X. X und X*X^T*X haben ja gleiche Spaltenräume also es sind beide nxk Matrizen. Deshalb kann man schlussfolgern, dass X*(β^_1-β^_2)=0 ⇔X*β^_1=X*β^_2
Liege ich hier richtig oder ist meine Schlussfolgerung fehlerhaft=
