Temperatur und die Zeit Wachstum

Question

Aufgabe:

In einer Tasse ist Tee mit der Ausgangstemperatur \( 80^{\circ} \mathrm{C} \). Die Umgebungstemperatur beträgt \( 25^{\circ} \mathrm{C} \). Die momentane Änderungsrate der Temperatur des Tees kann in \( \frac{{ }^{\circ}}{\min } \) näherungsweise durch die Funktion \( f \) mit \( f(t)=-6,6 \cdot e^{-0,12 t}(t \) in Minuten) beschrieben werden.

a) Bestimmen Sie eine Stammfunktion. Berechnen Sie \( \int \limits_{0}^{x} f(t) d t \) und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

b) Geben Sie eine Funktion an, mit der man die Temperatur nach t Minuten berechnen kann.

Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe. Danke im Voraus

Answer 1

Die Ableitung einer Funktion \( f(x) = \mathrm{e}^{ax} \) ist \(f'(x)=a \mathrm{e}^{ax} \). Wie muss dann wohl eine Stammfunktion aussehen?

Damit kannst du das Integral dann einfach mit dem Hauptsatz berechnen.

Integriert man über eine Änderungsrate, so sagt das Integral etwas über die absolute Veränderung des "Bestands" in diesem Zeitraum aus. Was ist denn hier der Bestand? Welche Einheit hat er? Ein Hinweis steckt in Aufgabe b).

Nutze die Interpretation aus a) und berücksichtige den Anfangswert.

Frage bei Unklarheiten gerne nach.

Comments

Was für eine Bedeutung hat integral in diesem Fall?

---

Welche Bedeutung hat denn die Funktion f?

---

Ist die Ableitung sozusagen

---

Das ist korrekt. Aber es geht um die Bedeutung im Kontext.

Answer 2

f(t) = - 6.6·e^(- 0.12·t)

a)

F(t) = 55·e^(- 0.12·t)

∫ (0 bis 10) f(t) dt = F(10) - F(0) = -38.43° C

Die Temperatur hat in den ersten 10 Minuten um 38.43° C abgenommen.

b)

Gesucht ist die Stammfunktion, die den Punkt (0 | 80) enthält.

T(t) = 25 + 55·e^(- 0.12·t)