Ordnungen primer Restklassen mod 23

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben seien die additiven Restklassen modulo 23
a) Geben Sie die Menge \( (\mathbb{Z} / 23 \mathbb{Z})^{\times} \)der primen Restklassen in \( \mathbb{Z} / 23 \mathbb{Z} \) an.
b) Begründen Sie, welche Ordnungen die primen Restklassen mod 23 besitzen können und berechnen Sie zu jeder Ordnung eine prime Restklasse.
c) Geben Sie eine Primitivwurzel aus \( (\mathbb{Z} / 23 \mathbb{Z})^{\times} \)an.
d) Begründen Sie, ob die Kongruenz \( 13 x \equiv 3 \bmod 23 \) lösbar ist, und berechnen Sie ggf. eine Lösung.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte erklären wie man Teil b) und c) berechnet?

Comments

Kann mir jemand bitte erklären wie man teil b) und c) berechnet?

Kannst du mir bitte mitteilen, was du bei Teil a) herausbekommen hast?

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bei a) habe ich: {1,2,3,4,.......22}

Answer 1

Einige Hinweise und unterstützende Fragen:

(b)

Wie viele Elemente hat die multiplikative Gruppe \(G=\left(\mathbb Z/\mathbb Z_{23}\right)^\times\)?

Was ist die Ordnung eines Elementes in \(G\)?

Welche Beziehung besteht zwischen der Ordnung einer Gruppe und der Ordnung eines Elementes? (Satz von Lagrange)

So kannst du Restklassen zu den vorher gefundenen Ordnungen bestimmen (lassen):

Beispiel 1

Beispiel 2

(c)

Auch zu Primitivwurzeln findet man ausreichend im Internet.

Auf der verlinkten Seite ist eine Tabelle mit allen Primitivwurzeln für alle Primzahlen bis 97.

Man kann sich aber eine Primitivwurzel auch online ausgeben lassen.