Zeigen Sie: sinh(R) = R

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: sinh(R) = R

Problem/Ansatz:

Ich komme leider bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ist das nicht so definiert? Wie sieht denn dann der Beweis aus?

Wäre über jede Hilfe dankbar, finde leider im Internet auch nichts dazu.

Answer 1

Es gilt \(\sinh(x)=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x})\). Betrachte nun das Verhalten für \(x\rightarrow \infty\) und \(x\rightarrow -\infty\) und nutze aus, dass die Funktion stetig ist.

Answer 2

Es ist also zu zeigen, dass \(\sinh:\R\rightarrow\R\) surjektiv ist, also dass zu jedem \(y\in \R\) ein \(x\in\R\) existiert mit \(\sinh(x)=y\). Diese letzte Gleichung kannst Du lösen, indem Du \(u=e^x\) setzt und damit eine quadratische Gleichung in \(u\) erhältst, die Du hoffentlich lösen kannst. Von \(u\) kommst Du dann zurück zu \(x\). Das \(x\) muss man auch nicht ausrechnen, sondern nur nachweisen, dass es so ein \(x\) gibt.