Beweis mit dem Hauptsatz Integralrechnung

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f, zu der es eine Stammfunktion gibt. Zeigen Sie mit dem Hauptsatz:

a) ^b∫_a f(x)dx= – ^b∫_af(x)dx

b) ^c∫_a f(x)dx=^b∫_af(x)dx=^c∫_bf(x)dx

Problem/Ansatz: Ich verstehe nicht, wie ich den Hauptsatz anwenden soll und was die Rechnungen aussagen. Wär super, wenn mir jemand dabei helfen kann, danke!

Answer 1

In Aussage a) sind auf der rechten Seite die Grenzen falsch rum und bei Aussage b steht auf der rechten Seite ein + und kein =.

Der Beweis ist sehr leicht. Du musst ja nur den Hauptsatz anwenden. Schreibe also die Integrale als Differenz von Funktionswerten der Stammfunktion, sprich \(\int\limits_a^b\!f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)\). Für a) beachte allgemein \(a-b=-(b-a)\).

Aussage a) besagt, dass sich das Vorzeichen des Integral ändert, wenn man die Grenzen tauscht und Aussage b) besagt, dass man das Integral in beliebige Teilintegrale zerlegen kann. Es spielt also keine Rolle, ob man von 0 bis 10 integriert oder von 0 bis 2 und dann von 2 bis 10.

Comments

Oh ja, das hab ich falsch abgeschrieben aber vielen Dank für deine Erklärung!