Welcher der Schätzer ist erwartungstreu und/oder konsistent?

Question

Aufgabe:

Welcher der Schätzer ist erwartungstreu und/oder konsistent?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Zur Schätzung des Mittelwertes einer Grundgesamtheit mit einer Stichprobe vom Umfang \( n>4 \) stehen Thnen die beiden Schätzer
(1) \( \hat{\mu}_{1}=\frac{X_{1}+3 X_{2}-X_{3}}{3} \)
(2) \( \hat{\mu}_{2}=\frac{X_{1}+X_{2}}{4}+\sum \limits_{i=3}^{n} \frac{X_{i}}{2(n-2)} \)
zur Auswahl. Die Zufallsvariablen \( X_{i} \) sind unabhängig und identisch verteilt. Es gelte \( E\left(X_{i}\right)=\mu \) und \( V\left(X_{i}\right)=\sigma^{2} \).

Comments

Für Erwartungstreue musst du lediglich den Erwartungswert auf dein Schätzer anwenden und dann mit desen Rechenregeln das ganze so umformen, dass am Ende dein theoretischer Erwartungswert rauskommt.

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Ich bin mir beim zweiten Schätzer unsicher wie man das Summenzeichen umschreibt.

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Naja bei Summen darfst du den Erwartungswert auf jeden einzelnen Summanden anwenden. Da alle Zufallsvariablen den gleichen Erwartungswert haben Hast du also (n-2)• E[X1] für die Summe. Dann kannste kürzen.

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Kann ich das Summenzeichen zu (n/3) umschreiben?

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Also: Da steht die Summe X3+...+Xn / 2*(n-2)

E[X3+...+Xn / 2*(n-2)]= E[X3]+...+E[Xn] / 2*(n-2)

Der Erwartungswert ist bei allen Xi gleich als hast du damit (n-2)* μ / 2*(n-2) und damit nur μ/2