Urnenmodell Likelihood Schätzer erwartungstreu und konsistent?

Question

Angenommen in einer Urne befinden sich θ ∈ ℕ Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis θ beschriftet sind. Es werden n Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Für i ∈ {1,...,n} sei X_i die Nummer der i-ten gezogenen Kugel.

Ich habe jetzt bereits den Likelihood Schätzer bestimmt als ^θ(x)= inf{θ: 1_{1,...,θ} (max x_i) = 1} = max_(1≤i≤n) x_i

Wie prüfe ich jetzt die Erwartungstreue und Konsistenz.

Answer 1

Hallo,

für die Erwartungstreue betrachten wir

\( P(\hat{\vartheta} \leq t) = P(\max_i\{ X_i \} \leq t) \)
\( = \prod_{i=1}^n P(X_i \leq t) \)
\( = \prod_{i=1}^n \frac{t}{\vartheta} \)
\( = \left( \frac{t}{\vartheta} \right)^n \).

Wir finden

\( E(\hat{\vartheta}) = \sum_{t=1}^\vartheta t P(\hat{\vartheta} = t) \)
\( = \sum_{t=1}^\vartheta t \left( \left( \frac{t}{\vartheta} \right)^n - \left( \frac{t - 1}{\vartheta} \right)^n \right) \)
\( = \vartheta \sum_{t=1}^\vartheta \left( \left( \frac{t}{\vartheta} \right)^{n+1} - \left( \frac{t - 1}{\vartheta} \right)^{n+1} \frac{t}{t-1} \right) \)
\( = \vartheta \left( 1 - 0 + \sum_{t=1}^{\vartheta-1} \left( \left( \frac{t}{\vartheta} \right)^{n+1} - \left( \frac{t}{\vartheta} \right)^{n+1} \frac{t+1}{t} \right) \right) \)
\( = \vartheta \left( 1 + \sum_{t=1}^{\vartheta-1} \left( \frac{t}{\vartheta} \right)^{n+1} \left( 1 - \frac{t+1}{t} \right) \right) \)
\( = \vartheta \left( 1 - \sum_{t=1}^{\vartheta-1} \left( \frac{t}{\vartheta} \right)^{n+1} \frac{1}{t} \right) \)
\( = \vartheta \left( 1 - \sum_{t=1}^{\vartheta-1} \frac{t^n}{\vartheta^{n+1}} \right) \)
\( < \vartheta \).

Damit ist \( \hat{\vartheta} \) nicht erwartungstreu (*). Für die Konsistenz berechnen wir

\( P(|\vartheta - \hat{\vartheta}| < \varepsilon) = P(\vartheta - \hat{\vartheta} < \varepsilon) \)
\( = P(\hat{\vartheta} > \vartheta - \varepsilon) \)
\( = 1 - P(\hat{\vartheta} \leq \vartheta - \varepsilon) \)
\( = 1 - \left( \frac{\vartheta - \varepsilon}{\vartheta} \right)^n \)

und stellen fest:

\( \lim_{n \rightarrow \infty} P(|\vartheta - \hat{\vartheta}| < \varepsilon) = 1 \).

Damit ist der Schätzer \( \hat{\vartheta} \) konsistent.

Grüße

Mister

(*) Wegen \( \lim_{n \rightarrow \infty} E(\hat{\vartheta}) = \vartheta \) ist \( \hat{\vartheta} \) allerdings asymptotisch erwartungstreu, siehe zum Beispiel https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/Erwartungstreue.