Stochastik, Maximum-Likelihood-Schätzer, Zufallsvariable

Question

Aufgabe:

Seien X₁, . . . , X_n unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit
P(X₁ = −1) = 1 − p     und    P(X₁ = 1) = p,
wobei p ∈ (0, 1). Ferner sei
Y_i = min {X_i, X_i+1}  für 1 ≤ i ≤ n − 1.
a)  Zeigen Sie, dass die Verteilung von Y_i, i = 1, . . . , n − 1, gegeben ist durch
P(Y_i = −1) = 1 − p²    und     P(Y_i = 1) = p².

b)  Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Y_i ,i = 1, . . . , n − 1.

c)  Bestimmen Sie den eindeutigen Maximum-Likelihood-Schätzer für p. Es ist dabei
nicht notwendig zu zeigen, dass das hergeleitete Extremum der Likelihood-Funktion auch
tatsächlich ein Maximum ist.

d)  Nehmen wir nun an, dass n eine gerade, natürliche Zahl ist, d.h. dass n/2 ∈ ℕ. Welchen Wert nimmt der Maximum-Likelihood-Schätzer aus Teilaufgabe c) an, wenn n/2 der Realisierungen x_k der X_k, k = 1, . . . , n, gleich 1 sind und die restlichen n/2 Realisierungen x_k der X_k gleich -1?

Comments

Bitte bearbeite auch noch deine Überschriften: So präzis, dass auf einen Blick klar ist, worin sich die Fragen unterscheiden. z.B. verschiedene Verteilungssorten erwähnen.

Unbedingt auch Theorie zu deinen Fragen durcharbeiten. Vgl. Antwort hier https://www.mathelounge.de/664482/beispiel-fur-keinen-maximum-likelihood-schatzer

Answer 1

Hallo,

a) es ist

\( P(Y_i = -1) = P(X_{i} = -1 \lor X_{i+1} = -1) \)
\( = 1 - P(X_{i} = 1 \land X_{i+1} = 1) \)
\( = 1 - P(X_{i} = 1) P(X_{i+1} = 1) \)
\( = 1 - p^2 \)

und

\( P(Y_i = 1) = 1 - P(Y_i = -1) = p^2 \).

b) Es ist weiterhin

\( E(Y_i) = (1 - p^2)(-1) + p^2 = 2p^2 - 1 \)

und

\( V(Y_i) = E(Y_i^2) - E^2(Y_i) = 1 - p^2 + p^2 - (2p^2 - 1)^2 = 4 p^2 (1 - p^2) \)

c) Sei \( n_{-1} \) die Anzahl der Realisierungen von \( -1 \) und \( n_1 = n - n_{-1} \) die Anzahl der Realisierungen von \( 1 \). Dann ist

\( L(p) = (1-p)^{n_{-1}} p^{n_1} \)

die Likelihood-Funktion und

\( l(p) = n_{-1} \log(1-p) + n_1 \log(p) \)

die Log-Likelihood-Funktion. Wir finden über

\( \frac{dl}{dp} = \frac{n_1}{p} - \frac{n_{-1}}{1-p} = 0 \)

den Maximum-Likelihood-Schätzer

\( p = \frac{n_1}{n_1 + n_{-1}} \).

d) Für \( n_1 = \frac{n}{2} \) und \( n_{-1} = \frac{n}{2} \) ergibt sich

\( p = \frac{1}{2} \).

Grüße

Mister