Maximum-Likelihood-Schätzer und Momenten-Schätzer

Question

Aufgabe:

Maximum-Likelihood-Schätzer und Momenten-Schätzer
Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) u.i.v. Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsdichte
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x \mid \theta):=(\theta+1) x^{\theta} \cdot \mathbb{1}_{(0,1)}(x) \)
und unbekannten Parameter \( \theta \in(-1, \infty) \).
(i) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer von \( \theta \in(-1, \infty) \).
(ii) Berechnen Sie den Momenten-Schätzer von \( \theta \in(-1, \infty) \).
(iii) Berechnen Sie die realisierten Schätzwerte für den Maximum-Likelihood-Schätzer und den Momenten-Schätzer basierend auf der Stichprobe
\( 0.6427,  0.7193,  0.8305,  0.9684,  0.5864,  0.9649,  0.9812,  0.871 \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

MLS Schätzer

$$ (1) \quad L(\theta;x) = \prod_{i=1}^n (\theta+1)x_i^\theta $$ also $$ (2) \quad \ln \left(L(\theta;x) \right)  = \sum_{i=1}^n \ln(\theta+1) +\theta \sum_{i=1}^n \ln(x_i) = n \ln(\theta+1) + \theta \sum_{i=1}^n \ln(x_i) $$

(2) muss maximiert werden, also

$$ (3) \quad \frac{\partial}{\partial \theta} \ln \left(L(\theta;x) \right)  =  \frac{n}{\theta+1} +\sum_{i=1}^n \ln(x_i) = 0 $$ also

$$ (4) \quad \hat \theta = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(x_i) } -1 $$

Hier ergibt sich \( \hat \theta = 3.662 \)

Momenten Schätzer

$$ \mathbb{E}(X) = \int_0^1 x (\theta+1) x^\theta dx = \frac{\theta+1}{\theta+2} $$

Mit $$ \mathbb{E}(X) \approx \overline{x} = \frac{\theta+1}{\theta+2} $$ folgt

$$ \hat \theta = - \frac{2 \overline{x} - 1}{\overline{x}-1} $$

Hier ergibt sich \( \hat \theta = 3.573 \)

Comments

Hier ergibt sich \( \hat \theta = 3.662 \)

Kannst du mir den Rechenweg erklären?

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Einfach die gegebenen x-Werte einsetzen. n ist gleich 8 in dem Fall.

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also

-\( \frac{8}{ln(0.6427)} \) -1+(-\( \frac{8}{ln(0.7193)} \) )-1+…?

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Das -1 nur einmal abziehen. Steht ja nicht in einer Summe.

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Ah okay, vielen Dank!