Die Likelihood Funktion lautet
$$ L( \mu , \sigma ; x) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{2 \sigma} e^{- \frac{ |x_i-\mu } { \sigma } } $$ also
$$ L( \mu , \sigma ; x) = \left( \frac{1}{2 \sigma} \right)^n e^{- \frac{1} {\sigma} \sum_{i=1}^n |x_i - \mu |} $$
und deshalb
$$ l(\mu,\sigma;x) = \ln ( L( \mu , \sigma ; x) ) = n \ln\left( \frac{1}{2 \sigma} \right) -\frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^n |x_i - \mu | $$
Das muss maximiert werden, also
$$ (1) \quad \frac{\partial}{\partial \mu} l(\mu,\sigma;x) = -\frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^n \text{sgn}(x_i - \mu) \overset{!}{=} 0 $$
weil $$ \frac{\partial |x|}{\partial x} = \frac{\partial \sqrt{x^2} }{\partial x} = \frac{1}{2}\frac{1}{|x|} 2 x = \frac{x}{|x|} = \text{sgn}(x)$$
Wenn \( n \) ungerade ist wird (1) durch \( \hat \mu = x_{med} \) gelöst. Und für \( n \) gerade ebenfalls.