Maximum-Likelihood-Schätzer für Laplace-Verteilung

Question

Aufgabe:

Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \sim \operatorname{Lap}(\mu, \sigma) \) u.i.v. Zufallsvariablen. Bestimmen Sie den MaximumLikelihood-Schätzer für den Parameter \( \mu \in \mathbb{R} \). Gehen Sie dafür wie folgt vor:
(i) Zeigen Sie, dass die Ungleichung
\( \sum \limits_{i=1}^{n}\left|x_{i}-x_{\mathrm{med}}\right| \leq \sum \limits_{i=1}^{n}\left|x_{i}-\mu\right| \)
gilt, wobei
\( x_{\text {med }}:=\left\{\begin{array}{ll} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}, & n \text { ungerade, } \\ \frac{1}{2}\left(x_{\left(\frac{n}{2}\right)}+x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)},\right. & n \text { gerade, } \end{array}\right. \)
den Stichprobenmedian für die der Größe nach geordnete Stichprobe
\( x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)} \)
bezeichnet.
(ii) Folgern Sie mit Teilaufgabe (i) den Maximum-Likelihood-Schätzer für \( \mu \in \mathbb{R} \).

Answer 1

Die Likelihood Funktion lautet

$$ L( \mu , \sigma ; x) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{2 \sigma} e^{- \frac{ |x_i-\mu } { \sigma } } $$ also

$$ L( \mu , \sigma ; x) =  \left( \frac{1}{2 \sigma} \right)^n e^{- \frac{1} {\sigma} \sum_{i=1}^n |x_i - \mu |}  $$

und deshalb

$$ l(\mu,\sigma;x) = \ln ( L( \mu , \sigma ; x) ) = n \ln\left( \frac{1}{2 \sigma} \right) -\frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^n |x_i - \mu | $$

Das muss maximiert werden, also

$$ (1) \quad \frac{\partial}{\partial \mu} l(\mu,\sigma;x) = -\frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^n \text{sgn}(x_i - \mu) \overset{!}{=} 0 $$

weil $$ \frac{\partial |x|}{\partial x} = \frac{\partial \sqrt{x^2} }{\partial x} = \frac{1}{2}\frac{1}{|x|} 2 x = \frac{x}{|x|} = \text{sgn}(x)$$

Wenn \( n \) ungerade ist wird (1) durch \( \hat \mu = x_{med} \) gelöst. Und für \( n \) gerade ebenfalls.

Comments

Wenn \( n \) ungerade ist wird (1) durch \( \hat \mu = x_{med} \) gelöst. Und für \( n \) ungerade ebenfalls.

Du meinst gerade und ungerade oder?

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genau. Ich hab das oben korrigiert.