erwartungstreuer Schätzer für die Varianz

Question

Aufgabe:

Ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz?
Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) u.i.v. Zufallsvariablen mit \( \mathrm{E}\left(X_{1}\right):=0 \) und unbekannter Varianz \( \sigma^{2}(\theta):=\operatorname{Var}\left(X_{1}\right) \). Ist der Schätzer
\( \widehat{\sigma^{2}(\theta)}\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right):=\frac{2}{n} X_{1}^{2}+\frac{n-2}{n(n-1)} \sum \limits_{i=2}^{n} X_{i}^{2} \)
ein erwartungstreuer Schätzer für \( \sigma^{2}(\theta) ? \)

Answer 1

$$ \mathbb{E}(\hat \sigma^2) = \frac{2}{n} \sigma^2 + \frac{n-2}{n(n-1)} \sum_{i=2}^n \sigma^2 =  \frac{2}{n} \sigma^2 + \frac{n-2}{n-1} \sigma^2 = \frac{n^2-2}{n(n-1)} \sigma^2 $$

Also nicht erwartungstreu.