Aufgabe: Seien
$$ X_1,...,X_n $$ eine Zufallsstichprobe von unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit
$$ X_i\sim Ber(p), \ p\in (0,1) $$. Wir interessieren uns für den Schätzer $$ \theta = p^2 $$. Weiter ist
$$ \hat{\theta} = \sum \limits_{i=1}^{n} X_i $$ ein vollständiger und suffizienter Schätzer und
$$ \tilde{\theta} = X_1X_2 $$ ist ein erwartungstreuer Schätzer.
Benutze die Blackwell-Rao Ungleichung um einen besseren Schätzer $$ \theta^* = \Epsilon[\tilde{\theta}|\hat{\theta} ] $$ zu finden.
Problem/Ansatz: Die Voraussetzungen an die Blackwell-Rao Ungleichung ist erfüllt. Das $$X_1, \ X_2\sim Ber(p)$$ folgt, dass
$$ \tilde{\theta}\in\left\{0,1\right\}$$ fast sicher. Außerdem gilt: $$ \hat{\theta}\sim Bin(n,p) $$
Weiter gilt für den bedingten Erwartungswert:
$$ \Epsilon[\tilde{\theta}|\hat{\theta} ] = \sum \limits_{k=1}^{n} \Epsilon[\tilde{\theta}|\hat{\theta} = k ] $$, weil
$$ \Epsilon[X|Y](\omega)=\Epsilon[X|Y=y] $$ für $$ Y(\omega)=y $$ gilt.
Demnach müsste gelten:
$$ \Epsilon[\tilde{\theta}|\hat{\theta} ] = \sum \limits_{k=1}^{n} \Epsilon[\tilde{\theta}|\hat{\theta} = k ] =\sum \limits_{k=1}^{n} 1\cdot\Rho(\tilde{\theta}=1|\hat{\theta} = k)+0\cdot\Rho(\tilde{\theta}=0|\hat{\theta} = k )=\\ \sum \limits_{k=1}^{n}1\cdot\Rho(X_1=1,\ X_2=1|\hat{\theta} = k )= \sum \limits_{k=1}^{n}1\cdot\Rho(X_1=1,\ X_2=1|\hat{\theta} = k )= \\ \sum \limits_{k=1}^{n}\frac{\Rho(X_1=1,\ X_2=1,\sum \limits_{i=1}^{n}X_i= k )}{\Rho(\sum \limits_{i=1}^{n}X_i= k) }= \sum \limits_{k=1}^{n}\frac{\Rho(X_1=1,\ X_2=1,\sum \limits_{i=3}^{n}X_i= k-2 )}{\Rho(\sum \limits_{i=1}^{n}X_i= k) }\\ =\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{\Rho(X_1=1)\Rho(\ X_2=1)\Rho(\sum \limits_{l=1}^{n-2}X_i= k-2 )}{\Rho(\sum \limits_{i=1}^{n}X_i= k) } $$
Hierbei wurde die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen ausgenutzt, sowie mit l=i-2 ein Indexschifft gemacht. Wenn man dann die Formeln für die Verteilung der Bernoulli und Binomialverteilung benutzt bekommt man folgendes:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n}\frac{p^2\binom{n-2}{k-2}p^{k-2}(1-p)^{n-2-k+2}}{\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}}= \sum \limits_{k=1}^{n}\frac{\binom{n-2}{k-2}}{\binom{n}{k}}= \sum \limits_{k=1}^{n}\frac{(n-2)!k!}{n!(k-2)!}=\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{n(n-1)} $$
Wo liegt da der Fehler, denn eigentlich müsste da ein erwartungstreuer Schätzer rauskommen, aber ohne die letzte Summe konkret auszurechnen kann man sehen, dass das hier nicht der Fall ist.
