ich habe zwei Aufgaben bekommen und komme leider gar nicht damit zurecht.
1) Eine auf dem Intervall [0, θ] gleichverteilte Zufallsgröße wird n mal unabhängig voneinander gemessen und man erhält
eine Stichprobe x = (x1, . . . , xn). Zeigen Sie, dass
θn(x1, . . . , xn) = $$\frac{12}{3^{n}+n}*(x1, . . . , xn)^{2}$$
ein erwartungstreuer Schätzer für θ2 ist.
Hinweis: Benutzen Sie E((X1 + . . . + Xn)2) = V(X1 + . . . + Xn) + (E(X1 + . . . + Xn))2.
2) W. möchte die Dauer von Arbeitslosigkeit stochastisch modellieren. Dazu beschreibt er sie durch eine Exponentialverteilung, also durch eine Verteilung, die eine Dichte f : R → R+ besitzt mit
f(x) = $$\begin{pmatrix} λ *e^{-λ*x} {für x≥0}\\0 für x < 0 \end{pmatrix}$$
Um den unbekannten Parameter λ > 0 zu schätzen, lässt er sich vom Arbeitsamt für vier zufällig herausgegriffene Arbeitslose ermitteln, dass diese genau x1 = 10 bzw. x2 = 6 bzw. x3 = 9 bzw. x4 = 7 Monate nach Verlust ihres bisherigen Arbeitsplatzes eine neue Arbeitsstelle gefunden haben. Bestimmen Sie den Maximum–Likelihood–Schätzer für λ und geben Sie an, was man im Falle der obigen Stichprobe als Schätzung für λ erhält.
Hinweis: Beschreibt Xi die Dauer der Arbeitslosigkeit der i-ten Person, so ist die Dichte von X = (X1, . . . , X4) bzw. die Likelihood-Funktion gegeben durch:
L(λ) = Lx1,x2,x3,x4 (λ) = $$\prod \limits_{n=1}^{4}$$f(x) = $$\begin{pmatrix} λ^{4}exp(-λ\sum \limits_{i=1}^{4}xi)für für x1, x2, x3, x4 ≥ 0,\\0 sonst. \end{pmatrix}$$
Bin sehr am verzweifeln und würde mich freuen, wenn jemand erklären kann, wie ich diese Aufgaben lösen kann. Danke!
