der Maximum-Likelihood-Schätzer entspricht hier dem kleinsten gemessenen \( X_i \), das heißt
\( \hat \Theta = \min\{X_i, i = 1, \dots, n\} \).
Der Grund ist, dass das kleinste \( X_i \) die Likelihood-Funktion maximiert, die wie folgt aussieht:
\( L(X_1, \dots, X_n, t_0) = \prod_{i=1}^{n} \eta \exp(-\eta(X_i - t_0)) \mathbb{I}_{X_i \geq t_0} \).
Die Verteilungsfunktion dieses Schätzers beträgt
\( F_{\Theta}(\Theta = x) = P(\{\min\{X_1, \dots, X_n\} \leq x\}) \)
\( = 1 - P(\{\min\{X_1, \dots, X_n\} > x\}) \)
\( = 1 - P(\{X_1 > x \land \dots \land X_n > x \} \)
\( = 1 - \prod_{i=1}^{n} (1 - F(x)) = 1 - (1 - F(x))^n \)
Die Dichtefunktion des Schätzers ist folglich
\( f_{\Theta}(x) = \frac{d}{dx}F(x) = \frac{d}{dx}(1 - (1-F(x))^n) \)
\( = - \frac{d}{dx}(1-F(x))^n \)
\( = \frac{dF}{dx} n (1-F(x))^{n-1} \)
\( = \eta \exp(-\eta(t-t_0)) n \exp(-\eta(t-t_0))^{n-1} \mathbb{I}_{x \geq t_0} \)
\( = \eta n \exp(-\eta n(t-t_0)) \mathbb{I}_{x \geq t_0} \)
Es handelt sich also wieder um eine verschobene Exponentialverteilung, aber mit dem Parameter \( \eta n \) statt \( \eta \).
Der Erwartungswert des Schätzers ist für \( x \geq t_0 \) daher einfach
\( \mathbb{E}[\Theta] = t_0 + \frac{1}{\eta n} \).
Der Schätzer ist nicht erwartungstreu, man kann den Bias \( \frac{1}{\eta n} \) ablesen.
Die Varianz des Schätzers beträgt
\( \mathbb{V}[\Theta] = \frac{1}{\eta n} \).
Für \( n \rightarrow \infty \) geht der Erwartungswert gegen \( t_0 \) und die Varianz gegen \( 0 \). Der Schätzer wird für größere Stichproben also immer genauer, was man von einem Schätzer wohl auch erwarten sollte.
Mister
