Aufgabe:
Eine Anlage füllt in großen Mengen \( 500 \mathrm{~g} \) Zuckertüten ab. Es ist bekannt, das die Zufallsvariable \( X \) „Füllgewicht" normalverteilt ist. Nach einer kleinen Reparatur wird das Füllgewicht von \( 500 \mathrm{~g} \) auf einer Skala eingestellt. Der Techniker will das mittlere Füllgewicht sicherheitshalber noch einmal überprüfen. Er wählt 10 Packungen zufällig aus und bestimmt ihr Gewicht: 497 g, 502 g, 505 g, 499 g, 496 g, 500 g, 502 g, 506 g, 506 g, 498 g. Berechnen Sie den ML-Schätzer für den Erwartungswert. Berechnen Sie ferner zwei Schätzer für die Varianz: Sowohl den ML-Schätzer als auch den erwartungstreuen Schätzer.
Lösung:
Die Zufallsvariable ist annähernd normalverteilt. Damit ist der ML-Schätzer für den Erwartungswert durch den Stichprobenmittelwert gegeben:
\( \bar{x}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=\frac{1}{10}(497+\cdots+498)=501,1 \)
Für den ML-Schätzer der Varianz gilt:
\( s_{M L}^{2}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\frac{1}{10} \sum \limits_{i=1}^{10}\left(x_{i}-501,1\right)^{2}=12,29 \Rightarrow s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{12,29}=3,506 . \)
Für den erwartungstreuen Schätzer ist durch \( n-1 \) statt durch \( n \) zu teilen:
\( \hat{s}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\frac{1}{9} \sum \limits_{i=1}^{10}\left(x_{i}-501,1\right)^{2}=13,65 \Rightarrow s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{13,65}=3,695 \text {. } \)
Problem/Ansatz:
Woher weiß man, ob etwas annähernd Normalverteilt ist? Muss man beim ML Schätzer was anders machen wenn es nicht annähernd normalverteilt ist ?
