Aufgabe:
Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) i.i.d. poissonverteilt zum Parameter \( \lambda>0 \).
(a) Man zeige, dass für den ML-Schätzer \( \hat{\lambda}_{n}=n^{-1} \sum \limits_{i=1}^{n} X_{i} \) für \( \lambda \) gilt \( \sqrt{n}\left(\hat{\lambda}_{n}-\lambda\right) \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal{N}\left(0, I^{-1}(\lambda)\right) \), wobei \( I(\lambda) \) die Fisher-Information von \( \lambda \) bezeichne.
(b) Man finde mit Hilfe der Delta-Methode eine (varianzstabilisierende) Transformation \( \phi \), sodass \( \sqrt{n}\left(\phi\left(\hat{\lambda}_{n}\right)-\phi(\lambda)\right) \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal{N}(0,1) \)
Problem/Ansatz:
Könnte mir hier jemand bitte helfen? Danke!
