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Aufgabe:

Die Wärmeverteilung auf einer erhitzen Herdplatte, die gegeben ist durch

M:={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≤16},

werde beschrieben durch die Funktion W(x,y):=3x^2+2y^2-4y+8.

Begründen Sie, dass W Maximum und Minimum annimmt, und berechnen Sie diese.


Problem/Ansatz:

Zuerst habe ich die lokalen Extrema von W im Inneren von M bestimmt, da habe ich raus, dass für (x,y)=(0,1) ein Minimum vorliegt.

Beim Bestimmen der Extrema von W auf dem Rand von M, habe ich raus, dass nur 4 folgende Punkte Extremas sein können:

(0,4), (0,-4), (√12, -2) und (-√12, -2).

Jetzt kommt die Frage. Da W(0,4)<W(0,-4)<W(√12, -2)=W-(√12, -2) kann ich doch mit Satz 7 sagen, dass W auf (x,y)=(√12, -2)=(-√12, -2) Maximum annimmt, und W(0,4), W(0,-4) kein Minimum ist, da W(0,1)<W(0,4) bzw. W(0,1)<W(0,-4) oder?



Satz 7:

Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum und f: X → R eine stetige
Funktion. Dann ist f beschrankt und nimmt sein Maximum und Minimum an, d.h. es gibt Punkte p, q ∈ X mit
f(p) = sup{f(x) | x ∈ X}, f(q) = inf{f(x) | x ∈ X}.

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Beste Antwort

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Deine Ergebnisse kann ich alle bestätigen:$$(0|1)\qquad\qquad\!\text{globales Minimum mit } f(0;1)=6$$$$(\pm2\sqrt3\big|-2)\;\text{ globale Maxima mit } f(\pm2\sqrt3;-2)=60$$$$(0|4)\qquad\qquad\text{lokales Minimum mit } f(0;4)=24$$

Da in der Aufgabenstellung nur von Maximum und Minimum die Rede ist, würde ich deiner Argumentation folgen, aber sicherheitshalber erwähnen, dass bei \((0|4)\) ein lokales Rand-Minimum vorliegt.

Avatar von 152 k 🚀

Ok, perfekt. Vielen Dank

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