Wie zeigt man, dass f Minimum/Maximum annimmt (stetige Funktion. D komplex und kompakt in C)?

Question

ich stehe vor folgender Aufgabe:

Es sei D={z=x+iy | x∈[a,b], y∈[c,d]} und f:D→ℝ stetig. Zeigen Sie, dass dann f auf D Minimum und Maximum annimmt.

Ich habe leider keinen Ansatz dazu und wäre über Hilfe sehr dankbar.

LG Alex

Answer 1

Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion ist kompakt. Folglich nimmt eine reellwertige stetige Funktion auf einem nichtleeren Kompaktum ein globales Minimum und ein globales Maximum an, siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Kompakter_Raum

Da die Intervalle \( [a, b ] \) und \( [c, ,d ] \) kompakt sind ist auch die Menge \( D \) kompakt. Somit sind die Voraussetzungen für den obigen Satz erfüllt und Minimum und Maximum werden angenommen.

Comments

Prima danke dir.

LG