Satz von Minimum und Maximum offenes Intervall

Question

Die Abbildung \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3}-2^{x} \) besitzt zwei Nullstellen \( x_{1} \) und \( x_{2} \), die sich aber nicht exakt mit Wurzeln, Logarithmen und/oder exp ausdrücken lassen \( \left(x^{3}-2^{x}=0\right. \) kann man nicht auflösen, ohne neue Funktionen einzuführen).

c) Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes vom Minimum und Maximum: Im Intervall \( \left(x_{1}, x_{2}\right) \) besitzt \( f \) ein Maximum.

Problem/Ansatz:

bin mir nicht sicher, wie ich den Satz von Minimum und Maximum hier anwenden kann, da ich ein offenes Intervall prüfen muss. Aus einer vorigen Aufgabe weiß ich, dass die Funktion auf dem Intervall (1,2) die Nullstelle x1 besitzt und (9,10) ihre Nullstelle x2 besitzt

Ableitungen dürfen nicht verwendet werden

Answer 1

Du kennst sicher das Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereiches.

Die Funktion kommt aus dem dritten und geht in den vierten Quadranten. Durch die beiden Nullstellen bei x1 und x2 sind die Funktionswerte im Intervall (x1 ; x2) durchweg positiv. Also wird es dort auch irgendwo einen maximalen Funktionswert geben.

Da das Intervall offen ist, wird nur das Minimum von 0 bei x1 und x2 nicht angenommen.

Answer 2

Zeige zunächst, dass \(f(x)>0\) für alle \(x\in(x_1,x_2)\) ist.

Dann verwende den Satz vom Maximum für das abgeschlossene

Intervall \([x_1,x_2]\) und bedenke \(f(x_1)=f(x_2)=0\).