Halbkugel bildet Menge A. Besitzt die Funktion f ein Maximum und Minimum?

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{c}{\text { Für } \vec{a} :=(0,5,0) \text { sei die Funktion }} \\ {f : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, \quad \vec{x} \mapsto\|\vec{x}-\vec{a}\|} \\ {\text { sowie die Menge } A=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9, y \leq 0\right\} \text { gegeben. }}\end{array} $$

Entscheiden Sie, ob die Funktion f auf A ihr Minimum und Maximum annimmt. Wenn
ja, bestimmen Sie alle Punkte, in welchen Minimum oder Maximum angenommen
wird.

Problem/Ansatz:

Normalerweise würde ich sagen, dass die Funktion nach dem Satz von Min und Max ein Max und Min hat, aber mich verwirrt der Punkt a, denn dieser liegt außerhalb des Definitionsbereichs A, also der Halbkugel mit Radius 3.

Ist die Funktion dann überhaupt stetig? Und kann man dann den Satz überhaupt noch anwenden? Umsonst wird der Punkt ja nicht angegeben sein.

Comments

Welche Norm ist gemeint?

Darfst du geometrisch (und in Worten) argumentieren?

Answer 1

a ist eine Punkt im Raum (eigentlich der Ortsvektor eines Punkts im Raum).

A ist eine Halbkugel (und ihr Innenraum).

Der Punkt a liegt außerhalb der Kugel.

|\(\vec{x}-\vec{a} \)| beschreibt den Anstand zwischen a und einem beliebigen Punkt im Kugelraum.

Auf dem Rand dieser Kugel gibt es selbstverständlich einen Punkt x, der besonders nah an a liegt, und es gibt auch eine Menge von Punkten, die besonders weit von  a entfernt sind

.

Comments

Achso, also geht es um die Entfernung zum Punkt a.

Nach kurzem überlegen wäre dann ja (0,0,0) der nahste Punkt, also das Minimum und (0,-3,0) das Maximum oder?

Die Frage wäre dann, wie man so etwas zeigt

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Bedenke, dass es sich nicht um eine Kugel, sondern nur um eine Halbkugel handelt, da  y≥0 vorausgesetzt ist.

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Ist mir auch vor 30 Sekunden aufgefallen und habe es bearbeitet.

Du meinst wohl y<= 0 statt y>=0?  Die Halbkugel liegt im negativen y Bereich

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Du hast recht, (0,0,0) liegt am nächsten und (0,-3,0) am entferntesten.

Answer 2

Gegeben ist ein Punkt P und eine Halbkugel K.

Die Funktion f beschreibt jetzt für jeden Punkt der Halbkugel dessen Abstand zum Punkt P.

Die Frage ist jetzt. Ist der Abstand dieser Menge beschränkt und, wenn ja für welche Punkte ist der Abstand minimal und für welche Punkte ist der Abstand maximal.

Comments

Oh ich gleub ich irre mich gerade. In der Funktion f wird ja gar nicht bezug auf die Menge A genommen. Dort ist x nur ein Vektor aus dem R^3.

Hast du die Aufgabe korrekt notiert?

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Hi,

ja, ich habe es 1zu1 abgeschrieben/kopiert.

Also ich weiß, dass die Menge A kompakt ist, also beschränkt und abgeschlossen, aber im Bezug zum Punkt, der Außerhalb der Menge liegt, würde ich sagen nein