Für welche Werte von t besitzt die Funktion \mathrm{f}_{\mathrm{t}} ein Maximum bzw Minimum?

Question

Aufgabe 15
Für jede Zahl t ist eine Funktion \( \mathrm{f}_{\mathrm{t}}(\mathrm{x})=\mathrm{tx}^{2}-2 \mathrm{tx} \) gegeben.
a) Zeichne ein Schaubild für \( t=1 ; 2 ;-1 ;-2 \).
b) Für welche Werte von t besitzt die Funktion \( \mathrm{f}_{\mathrm{t}} \) ein Maximum bzw. Minimum?
c) Gibt es eine Funktion \( \mathrm{f}_{\mathrm{t}} \), die das Maximum (maximaler Funktionswert) 1 hat?
d) Gibt es eine Funktion \( \mathrm{f}_{\mathrm{t}} \), die das Minimum (minimaler Funktionswert) 1 hat?
e) Für welchen Wert von t ist das Schaubild eine Normalparabel?

Answer 1

Willkommen in der Mathelounge!

Die Funktionsgraphen sollten dir eine Idee zur Lösung der Aufgaben b, c und d liefern.

d) Setze \(tx^2-2tx=x^2\) und löse nach t auf

Melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Answer 2

f(x)= t x^2-2 t x

b) Für welche Werte von t besitzt die Funktion ein Maximum bzw. Minimum?

Für t>0  Minimum und für t<0 Maximum

c) Gibt es eine Funktion , die das Maximum (maximaler Funktionswert) 1 hat?

Der Scheitelpunkt muss den y-Wert 1 haben

y= t x^2-2 t x|:t

y/t=  x^2-2 x|+1^2

y/t+1=  x^2-2 x+1

y/t+1=  (x-1)^2|-1

y/t=  (x-1)^2-1|*t

y=  t(x-1)^2-t

S(1|-t)  Somit muss t =-1 sein: S(1|1)

f(x)=-(x-1)^2+1

d) Gibt es eine Funktion, die das Minimum (minimaler Funktionswert) 1 hat?

y=  t(x-1)^2-t

S(1|-t)  Somit muss t = 1 sein: S(1|-1)

f(x)=(x-1)^2-1

e) Für welchen Wert von t ist das Schaubild eine Normalparabel?

f(x)= t x^2-2 t x

y=  t(x-1)^2-t

Bei t =1 ist der Graph eine verschobene Normalparabel mit S(1|-1)