Zeigen Sie, dass f auf K Maximum und Minimum besitzt, und bestimmen Sie max f(K) und min f(K).

Question

Aufgabe:

Sei f : R^2 → R gegeben durch
f(x, y) := x^2 + y^2 + xy + x + 5y,
und sei K := {(x, y) ∈ R^2: x^2 + y^2 + xy = 1}.
Zeigen Sie, dass f auf K Maximum und Minimum besitzt, und bestimmen Sie max f(K) und min f(K).

Problem/Ansatz:

Ich bin mir total unschlüssig, wie ich an die Sache heran gehen soll. Wäre cool, wenn jemand das lösen könnte :)

Answer 1

Hallo,

um zu zeigen, dass ein Maximum und Minimum auf \(K\) exisitiert, musst du zeigen, dass \(K\) kompakt ist. Da \(K\subset \mathbb{R}^2\), musst du nach Heine-Borel nur zeigen, dass \(K\) abgeschlossen und beschränkt ist. Daraus folgt dann schon die Kompaktheit.

Zur Abgeschlossenheit:$$K=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : \underbrace{x^2+y^2+xy}_{=:f(x,y)}=1\}=f^{-1}(\{1\})$$ Damit ist \(K\) als Urbild der abgeschlossenen Menge \(\{1\}\) unter der stetigen Funktion \(f\)  abgeschlossen.

Zur Beschränktheit: 

Die Ellipse \(x^2+y^2+xy=1\)  ist vollständig in \(\overline{B_2(0,0)}\) enthalten. Damit beschränkt.

https://www.desmos.com/calculator/c9vvfa2b9x

Insgesamt folgt die Kompaktheit und damit nach dem Satz vom Maximum und Minimum die Existenz eben jener.

Was nun folgt, ist eine Aufgabe mit dem Lagrange-Optimierungsverfahren. Wie würdest du hier beginnen?