Begründen Sie, dass die Funktion ihr Maximum und ihr Minumum annimmt und bestimmen Sie Maximum und Minimum.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 3 (5 Punkte)
Begründen Sie, dass die Funktion
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{1} \)
auf der Menge
\( K=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}:\|x\| \leq 2\right\} \)
ihr Maximum und ihr Minumum annimmt und bestimmen Sie Maximum und Minimum.

Comments

Stetige Funktion auf einer kompakten Menge ... Zur Bestimmung entweder \(K = K^\circ \cup \partial K\) zerlegen und \(\partial K\) parametrisieren, oder mittels Lagrangemultiplikatoren.

Answer 1

Der Funktionsterm lässt sich mittels quadratischer Ergänzung als \((x_1-1)^2+2x_2^2-1\) schreiben.

Dieser Wert ist IMMER größer oder gleich -1 (warum wohl?), und du findest sicher die Stelle (x_1;x_2), an der der minimale Wert -1 angenommen wird.

Für das Maximum taste den Rand ab. Dabei könnte die Verwendung von Polarkoordinaten hilfreich sein.

Comments

Alles klar danke, die Umformung mittels quadratischer Ergänzung hat geholfen.
Für die Randstellen kann ich mich ja auf die Polarkoordinaten beziehen?

Lg