Aufgabe:
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Aufgabe 1 (5 Punkte)
(a) (1 Punkt) Sei \( M \subset \mathbb{R}^{2} \) eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit. Sei \( (a, b) \in M \). Zeigen Sie, dass mindestens eine der beiden folgenden Aussagen gilt:
1. Es existieren offene Intervalle \( I_{1}, I_{2} \subset \mathbb{R} \) mit \( (a, b) \in I_{1} \times I_{2} \) und \( g \in C^{1}\left(I_{1}\right) \) mit \( M \cap\left(I_{1} \times I_{2}\right)=\left\{(x, g(x)): x \in I_{1}\right\} \).
2. Es existieren offene Intervalle \( J_{1}, J_{2} \subset \mathbb{R} \) mit \( (a, b) \in J_{1} \times J_{2} \) und \( h \in C^{1}\left(J_{2}\right) \) mit \( M \cap\left(J_{1} \times J_{2}\right)=\left\{(g(y), y): y \in J_{2}\right\} \).
(b) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass \( M_{1}=\left\{\left(t^{2}, t^{3}\right): t \in \mathbb{R}\right\} \) keine eindimensionale Untermannigfaltigkeit von \( \mathbb{R}^{2} \) ist.
(c) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass \( M_{2}=\left\{\left(t^{2}-1, t^{3}-t\right): t \in \mathbb{R}\right\} \) keine eindimensionale Untermannigfaltigkeit von \( \mathbb{R}^{2} \) ist. (Hinweis: Der Tangentialraum könnte nützlich sein.)
