Zeigen Sie, dass M eine zwei dimensionale Untermannigfaltigkeit des R^4 ist

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 2 (5 Punkte)
Die Funktionen \( f_{i}: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}, i=1,2,3 \) seien definiert durch
\( \begin{array}{l} f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1} x_{3}-x_{2}^{2}, \\ f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{2} x_{4}-x_{3}^{2}, \\ f_{3}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1} x_{4}-x_{2} x_{3} . \end{array} \)
Sei
\( U=\left\{x \in \mathbb{R}^{4}: x_{2} \neq 0 \text { oder } x_{3} \neq 0\right\} \)
Zeigen Sie, dass
\( M:=\left\{x \in U: f_{1}(x)=f_{2}(x)=f_{3}(x)=0\right\} \)
eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des \( \mathbb{R}^{4} \) ist.
(Hinweis: Zeigen Sie, dass M lokal durch zwei Gleichungen beschrieben werden kann.)

Ich verstehe nicht wie ich mit dem hinweis arbeiten soll

Answer 1

Dies sind nur ein paar Überlegungen zum Problem.

Vielleicht sind sie ja nützlich?

Die Elemente \(x\in M\) sind durch die 3 Gleichungen

\(x_1x_3=x_2^2,\; x_2x_4=x_3^2,\; x_1x_4=x_2x_3\quad (*)\)

innerhalb von \(U\) charakterisiert.

Für sie gilt dann \(x_1, x_2, x_3, x_4\neq 0\).

Auffällig ist, dass die 4 Gleichungen homogen

vom Grad 2 sind. Daher kann man folgende

neue Variablen einführen:

\(u_1:=x_1/x_2,\; u_3:=x_3/x_2,\; u_4:=x_4/x_2\).

In diesen neuen Variablen gehen die Gleichungen \((*)\)

über in

\(u_4=u_3^2,\; u_1u_3=1,\; u_1u_4=u_3\),

wobei die erste Gleichung aus den beiden letzten folgt,

so dass man also nur 2 Gleichungen hätte.

Comments

Verstehe ich leider immer noch nicht. Kannst du mir weiterhelfen?

Lg