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Titel der Frage: f (x, y):= (x^2-1)^2+y^2. \([f=t]\) sind für \(t> 0\), \(t\neq 1\). Kompakte eindimensionale Untermannigfaltigkeit?
Aufgabe:
Es sei \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) mit \(f (x, y):= (x^2-1)^2+y^2\).
Zu zeigen ist, dass die Menge \([f=t]\) für \(t> 0\), \(t \neq 1\) eine kompakte, eindimensionale Untermannigfaltigkeit von \(\mathbb{R}^2\) ist. Außerdem soll bestimmt werden, aus wie vielen "Teilen" diese \([f=t]\) bestehen.
Schritt 1: Verständnis der Aufgabe
Die Menge \([f=t]\) bezeichnet die Niveaumenge oder Level-Menge, welche durch die Gleichung \((x^2-1)^2+y^2 = t\) definiert ist. Das Ziel ist zu zeigen, dass diese Menge für jeden Wert \(t > 0\) und \(t \neq 1\) eine kompakte, eindimensionale Untermannigfaltigkeit des \(\mathbb{R}^2\) bildet.
Schritt 2: Eindimensionale Untermannigfaltigkeit
Eine Menge ist eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn sie lokal die Struktur einer eindimensionalen Mannigfaltigkeit hat, was bedeutet, dass in der Nähe jedes Punktes die Menge einem offenen Intervall in \(\mathbb{R}\) ähnelt.
Schritt 3: Kompaktheit
Eine Menge ist kompakt, wenn sie sowohl beschränkt als auch abgeschlossen ist.
Demonstration für \(t>0\), \(t\neq 1\)
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Beschränktheit und Abgeschlossenheit: Die Menge \([f=t]\) ist abgeschlossen, da sie die Niveaumenge einer stetigen Funktion ist. Um die Beschränktheit zu zeigen, beachten Sie, dass für \(t > 0\), die Funktion \(f(x, y) = (x^2-1)^2+y^2\) ein Minimum bei \((\pm1,0)\) mit \(f(\pm1,0)=0\) hat und monoton wächst, wenn \(x\) oder \(y\) sich von diesen Punkten entfernen. Das bedeutet, dass für ein gegebenes \(t\), die Menge \([f=t]\) in einer beschränkten Region liegt. Folglich ist diese Menge auch kompakt.
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Eindimensionalität: Da \(f(x, y)\) stetig differenzierbar ist und der Gradient von \(f\) nicht verschwindet auf \([f=t]\) für \(t>0\) und \(t \neq 1\), außer möglicherweise bei den kritischen Punkten \((\pm1,0)\) die nur für \(t=0\) relevant sind, folgt, dass die Level-Mengen \([f=t]\) glatte Kurven im \(\mathbb{R}^2\) darstellen, die eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit bilden.
Anzahl der Teile:
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Für \(0 < t < 1\): Hier liegt \(t\) unter dem Wert der Minima \((\pm1,0)\), was bedeutet, dass keine Punkte existieren, die diese Bedingung erfüllen. Somit existiert keine entsprechende Menge \([f=t]\) in diesem Fall.
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Für \(t = 1\): Dies ist der spezielle Fall, der in der Frage explizit ausgeschlossen ist, da hier die Menge \(f(0, 0) = 1\) erreicht und damit nur der einzelne Punkt \((0, 0)\) betroffen ist.
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Für \(t > 1\): In diesem Fall formen die Punkte der Menge \([f=t]\) zwei getrennte, geschlossene Kurven, eine in der Nähe von \((1,0)\) und die andere in der Nähe von \((-1,0)\). Die Menge hat also zwei separate Teile, die symmetrisch zueinander bezüglich der y-Achse sind.
Zusammengefasst: Für \(t>0\) und \(t\neq 1\), bilden die Mengen \([f=t]\) kompakte, eindimensionale Untermannigfaltigkeiten von \(\mathbb{R}^2\) und bestehen aus zwei Teilen für \(t > 1\), während für \(0 < t < 1\) keine entsprechende Menge existiert.
