Aufgabe:
Die Wärmeverteilung auf einer erhitzen Herdplatte, die gegeben ist durch
M:={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≤16},
werde beschrieben durch die Funktion W(x,y):=3x^2+2y^2-4y+8.
Begründen Sie, dass W Maximum und Minimum annimmt, und berechnen Sie diese.
Problem/Ansatz:
Zuerst habe ich die lokalen Extrema von W im Inneren von M bestimmt, da habe ich raus, dass für (x,y)=(0,1) ein Minimum vorliegt.
Beim Bestimmen der Extrema von W auf dem Rand von M, habe ich raus, dass nur 4 folgende Punkte Extremas sein können:
(0,4), (0,-4), (√12, -2) und (-√12, -2).
Jetzt kommt die Frage. Da W(0,4)<W(0,-4)<W(√12, -2)=W-(√12, -2) kann ich doch mit Satz 7 sagen, dass W auf (x,y)=(√12, -2)=(-√12, -2) Maximum annimmt, und W(0,4), W(0,-4) kein Minimum ist, da W(0,1)<W(0,4) bzw. W(0,1)<W(0,-4) oder?
Satz 7:
Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum und f: X → R eine stetige
Funktion. Dann ist f beschrankt und nimmt sein Maximum und Minimum an, d.h. es gibt Punkte p, q ∈ X mit
f(p) = sup{f(x) | x ∈ X}, f(q) = inf{f(x) | x ∈ X}.
