die Likelihood-Funktion lautet:
\( L(\vartheta) = \vartheta \cdot 2 \vartheta \cdot (3 \vartheta)^2 (1 - 6 \vartheta) \)
\( = 18 \vartheta^4 - 36 \vartheta^5 \).
Die Ableitung ist
\( L'(\vartheta) = 72 \vartheta^3 - 180 \vartheta^4 = \vartheta^3(72 - 180 \vartheta) \).
Die Nullstellen der Ableitung sind \( \vartheta = 0 \) und \( \vartheta = \frac{72}{180} = \frac{2}{5} \).
Die zweite Ableitung von \( L \) ist
\( L''(\vartheta) = 216 \vartheta^2 - 720 \vartheta^3 = \vartheta^2 (216 - 720 \vartheta) \).
Für \( \vartheta = 0 \) verschwindet die zweite Ableitung. Für \( \vartheta = \frac{2}{5} \) beträgt sie
\( L''(\frac{2}{5}) = \left( \frac{2}{5} \right)^2 (216 - 288 ) < 0 \).
Daher ist \( \vartheta = \frac{2}{5} \) die einzige plausible Lösung.
Mister
