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Der binomische Lehrsatz lautet:$$(a+b)^n=\sum\limits_{\ell=0}^n\binom{n}{\ell}\cdot a^{n-\ell}\cdot b^\ell\quad(\ast)$$
Es gibt in der Algebra zwei Standardtricks, die jeder kennen sollte:
(1) Die Addition einer "Null"
(2) Die Multiplikation mit einer "Eins"
Hier hilft uns in beiden Fällen der 2-te Trick weiter:$$\sum\limits_{\ell=0}^n\binom{n}{\ell}=\sum\limits_{\ell=0}^n\binom{n}{\ell}\cdot\red{1^{n-\ell}}\cdot\green{1^\ell}\stackrel{(\ast)}{=}(\red 1+\green1)^n=2^n$$$$\sum\limits_{\ell=0}^n(-1)^\ell\binom{n}{\ell}=\sum\limits_{\ell=0}^n\binom{n}{\ell}\cdot\red{1^{n-\ell}}\cdot(-1)^\ell\stackrel{(\ast)}{=}(\red 1+(-1))^n=0^n=0$$
