Es genügt zu zeigen, dass
$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{n^{k}}{x^{n}} \right| =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n^{k}}{|x|^{n}} =0 $$
Wegen \(|x|> 1\), gilt \(y=|x|-1> 0\). Damit gilt
$$|x|^n = (1+y)^n =\sum_{l=0}^n\binom nl y^l \stackrel{y>0}{\geq}\binom nl y^l \text{ für } l=1,\ldots , n$$
Für \(n> k+1\) nehmen wir nun folgenden Binomialkoeffizienten:
$$\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}=\frac{n(n-1)\cdots (n-k)}{(k+1)!}$$$$=n^{\color{blue}k+1}\frac{1\cdot \left(1-\frac 1n\right)\cdots \left(1-\frac kn\right)}{(k+1)!} \quad (\star)$$
Damit können wir nun nach oben abschätzen:
$$\frac{n^k}{|x|^n}=\frac{n^k}{(1+y)^n}\leq \frac{n^k}{\binom{n}{k+1}y^{k+1}}\stackrel{(\star)}{=}\frac 1n \cdot \frac{(k+1)!}{\left(1-\frac 1n\right)\cdots \left(1-\frac kn\right)y^{k+1}}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\cdot \frac{(k+1)!}{y^{k+1}} = 0$$
Fertig.
