Folgern Sie aus dem Binomischen Lehrsatz: ∑ (-1)^k (n tief k) = 0

Question

∑ (-1)^k (n tief k) = 0

Für alle n ∈ ℕ \ {0} gelten

$$ \sum _{ k=0 }^{ n }{ { (-1) }^{ k } } (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})=0 $$

$$ Hinweis:\\ Es\quad ist\quad (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})=(\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix})\quad für\quad alle\quad 0\le k\le n. $$

Comments

Vgl. auch: https://www.mathelounge.de/6486/alternierende-summe-von-binomialkoeffizienten-k-0-bis-n

Answer 1

Der binomische Lehrsatz lautet$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k.$$Wähle \(x=1\) und \(y=-1\).

Comments

Aber was macht man mit den (-1)^k....lässt man die einfach vor der formel des bi.Lehrsatzes stehen?

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Links: (1-1)^n = 0^n = 0.

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Du meinst \(0^n=0\)?

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Danke. Ja! Wird korrigiert.

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Danke das habe ich verstanden, aber ich meinte wie man die (-1)^k nach der Summe (sorry ich kann es leider nicht mathematisch eintippen) mit in den binomischen Lehrsatz einbezieht. Danke für die Antwort :-)

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Etwas ausführlicher:$$0=\big(1+(-1)\big)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk1^{n-k}\cdot(-1)^k=\sum_{k=0}^n(-1)^k\cdot\binom nk.$$

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Fehlt da nicht noch was?

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Fortune95: Was vermisst du denn?

1^{n-k} = 1.

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Danke meine Frage hat sich erledigt :)