Folgern Sie aus dem Binomischen Lehrsatz: Summenformeln für Binomialkoeffizienten

Question

Folgern Sie aus dem Binomischen Lehrsatz: Für n ∈ IN ist.

$$\text { (c) } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { c } { 2 n + 1 } \\ { k } \end{array} \right) = 2 ^ { 2 n } \\ \text { (d) } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { c } { 2 n } \\ { k } \end{array} \right) k = 2 ^ { 2 n - 1 } n$$

Comments

Hast du schon versucht dich von der Lösung von

https://www.mathelounge.de/4478/summen-berechnen-mit-hilfe-des-binom…

ispirieren zu lassen? Möglicherweise lässt sich 2n durch N substituieren.

 

Hier kommt ja 4^n… raus.

Könnte vielleicht aus (2+2)^n stammen?

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Mir hat das zumindest nicht so wirklich weitergeholfen. Wär schön, wenn die Aufgaben nochmal jemand aufdröselt.

Answer 1

Herleitung der Formel für 1/2*(1+1)²ⁿ⁺¹ für die Aufgabe c)

$$\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {k}\end{array}\right)=\frac{(2 n+1) !}{k ! *(2 n+1-k) !}=\frac{(2 n+1) !}{(2 n+1-k) ! * k !}=\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {2 n+1-k}\end{array}\right)$$

Daraus folgt, wenn die Summe nur von $k=0$ bis $n$ läuft, ergibt das die Hälfte, wie wenn sie von $0$ bis $2n+1$ laufen würde.

$(a+b)^{m}$ ausmultiplizieren für $a=1 ; b=1 ; m=2 n+1$:

$$\begin{array}{l}{\frac{1}{2} *(1+1)^{2 n+1}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {k}\end{array}\right)=} \\ {\frac{1}{2} *\left(1^{2 n+1} 1^{0}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {0}\end{array}\right)+1^{2 n} 1^1 \left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {1}\end{array}\right)+\ldots+1^{1} 1^{2 n}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {2 n}\end{array}\right)+1^{0} 1^{2 n+1}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {2 n+1}\end{array}\right)\right)=} \\ {\left(1^{2 n+1} 1^{0}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {0}\end{array}\right)+1^{2 n} 1^{1}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {1}\end{array}\right)+\ldots+1^{n+1} 1^{n}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {n}\end{array}\right)\right)=} \\ {\frac{1}{2} * 2^{2 n+1}=2^{2 n}}\end{array}$$

Comments

danke, sehr ausführlich und nachvollziehbar!

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Hey sorry, aber woher kommt die 1/2?

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Herleitung der Formel für 1/2*(1+1)^{2n+1} für die Aufgabe c)

Hast du die Einleitung zur Rechnung gesehen?

Da ist 1/2 schon vorgegeben.