Herleitung der Formel für 1/2*(1+1)2n+1 für die Aufgabe c)
$$ \left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {k}\end{array}\right)=\frac{(2 n+1) !}{k ! *(2 n+1-k) !}=\frac{(2 n+1) !}{(2 n+1-k) ! * k !}=\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {2 n+1-k}\end{array}\right) $$
Daraus folgt, wenn die Summe nur von \( k=0 \) bis \( n \) läuft, ergibt das die Hälfte, wie wenn sie von \( 0 \) bis \( 2n+1 \) laufen würde.
\( (a+b)^{m} \) ausmultiplizieren für \( a=1 ; b=1 ; m=2 n+1 \):
$$\begin{array}{l}{\frac{1}{2} *(1+1)^{2 n+1}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {k}\end{array}\right)=} \\ {\frac{1}{2} *\left(1^{2 n+1} 1^{0}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {0}\end{array}\right)+1^{2 n} 1^1 \left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {1}\end{array}\right)+\ldots+1^{1} 1^{2 n}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {2 n}\end{array}\right)+1^{0} 1^{2 n+1}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {2 n+1}\end{array}\right)\right)=} \\ {\left(1^{2 n+1} 1^{0}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {0}\end{array}\right)+1^{2 n} 1^{1}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {1}\end{array}\right)+\ldots+1^{n+1} 1^{n}\left(\begin{array}{c}{2 n+1} \\ {n}\end{array}\right)\right)=} \\ {\frac{1}{2} * 2^{2 n+1}=2^{2 n}}\end{array}$$
