Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung gilt: ∑ (n tief k) = 2^n

Question

Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung gilt

$$\sum _{k=0 }^{n} \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) {={2}^{n} }$$

und deuten Sie das Ergebnis kombinatorisch für eine Menge M mit n Elementen.

Über eine ausführliche Erklärung würde ich mehr sehr freuen :)

Präzision: 'Bruch' sollte Binomialkoeffizient (n tief k) sein. ∑ (n tief k) = 2^n

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aus Duplikat vom 17.11.2014

ich versuche gerade diverse Aufgaben mit Binomialkoeffizienten zu lösen u. das hat bisher auch einigermaßen geklappt aber ich habe hier nun eine Aufgabe bei der ich schon fast einen Beweis führen soll (vermutlich).

Also ich soll zeigen: ∑ⁿ _k=0 (n über k) = 2ⁿ

Das kann man wohl mit dem binomischen Lehrsatz zeigen aber ich weiß überhaupt nicht wie ich das notieren soll, damit es auch "gültig" bzw. ausreichend ist.

Wenn ich Werte für die Summe 0, 1, 2 ausprobiere kommt natürlich auch 2⁰, 2¹ und 2² raus.

Wie könnte ich das nun zeigen? Vollständige Induktion o.ä. soll ich noch nicht verwenden.

Wenn ich schreibe ∑ⁿ _k=0 (n über k) = (n über 0) + (n über 1) + (n über 2) + (n über n) = 2ⁿ erscheint mir das irgendwie noch nicht deutlich genug?! Oder reicht das schon?

Comments

Deine Formel bitte nochmals kontrollieren:

\sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac ({ n }{ k })  } =\quad { 2 }^{ n }

$$\sum _{k=0 }^{n} \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) {={2}^{n} }$$
???

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Tipp: 2ⁿ = (1 + 1)ⁿ. Wende darauf besagten Satz an.

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Hmja, das habe ich schon so aufgeschrieben aber was müsste ich dann dahinter schreiben?

Leider weiß ich nicht wie ich das nun dieser Summenschreibweise u. Binomialkoeffizienten umformen kann.

Ich soll ja irgendwie auf 2ⁿ = (1 + 1)ⁿ = ∑ ⁿ _{mit k = 0} (n über k) kommen. vielleicht bin ich dafür zu blöd aber mir leuchtet einfach nicht ein was der Zwischenschritt sein könnte bzw. sein muss oder was ich da überhaupt genau zeigen soll?

∑ ⁿ _{mit k = 0} ( 1 + 1 )ⁿ wäre ja beispielsweise nicht richtig

(n = 0): 1 das stimmt mit 2⁰ überein aber bei (n = 1): 1 + 1 * 2 = 3 wäre es schon falsch. :/

Ganz schön knifflig.

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$$2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk\cdot1^{n-k}\cdot1^k=\sum_{k=0}^n\binom nk.$$

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Achso verstehe, man kann den Satz in dem Fall (oder jeden?) ganz übernehmen und wegen der 1en natürlich dann wegstreichen.

Ich hampelte die ganze Zeit mit Zahlenbeispielen herum. hatte überlegt mit dem Pasqualschen Dreieck zu zeigen das immer das gleiche herauskommt, da dort ja auch diese Binomialschreibweise vorkommt (https://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck), das hängt ja auch irgendwie miteinander zusammen aber so gaaanz verstanden wie ich das immer anwenden kann/soll hab ich leider noch nicht.

Answer 1

Der binomische Lehrsatz lautet \((x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}x^ky^{n-k}.\)

Mit x=y=1 folgt daraus unmittelbar die Behauptung.