Hallo. Wie löst man folgende Aufgaben? Ich bin leider sehr unsicher in dem Thema.
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11. Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung \( y^{\prime}-y=2 x \) mit der Anfangsbedingung \( y(0)=1 \) ist \( y(x)=3 e^{x}-2(x+1) \)
(a) Leiten Sie diese Lösung her, indem Sie zunächst die Losung der homogenen Gleichung bestimmen und dann das Verfahren der Variation der Konstanten anwenden.
(b) Zu einer Differentialgleichung der Form \( y^{\prime}(x)=f(x, y) \) ( \( f \) gegebene Funktion) mit der Anfangsbedingung \( y\left(x_{0}\right)=y_{0} \) kann man eine zugehörige Integralgleichung aufstellen:
$$ y(x)=y_{0}+\int \limits_{x_{0}}^{x} f(t, y(t)) d t $$
Prüfen Sie nach, dass dieses \( y(x) \) die Ausgangsdifferentialgleichung und die Anfangsbedingung erfüllt.
(c) Man kann iterativ Näherungslösungen der Integralgleichung bestimmen:
$$ \begin{aligned} y_{(0)}(x) &=y_{0} \\ y_{(1)}(x) &=y_{0}+\int \limits_{x_{0}}^{x} f\left(t, y_{(0)}(t)\right) d t \\ y_{(2)}(x) &=y_{0}+\int \limits_{x_{0}}^{x} f\left(t, y_{(1)}(t)\right) d t, \ldots \\ y_{(n)}(x) &=y_{0}+\int \limits_{x_{0}}^{x} f\left(t, y_{(n-1)}(t)\right) d t \end{aligned} $$
Wenden Sie dieses Verfahren für die oben gegebene Differentialgleichung an. (In diesem Fall ist \( f(x, y)=y+2 x \) und \( x_{0}=0, y_{0}=1 . \) ) Berechnen Sie die Näherungslosungen \( y_{(0)}, \ldots, y_{(4)} \)
$$ \text { Zur Kontrolle: } \quad y_{(4)}=1+x+\frac{3}{2} x^{2}+\frac{1}{2} x^{3}+\frac{1}{8} x^{4}+\frac{1}{60} x^{5} $$
Vergleichen Sie die Ergebnisse der ermittelten \( y_{(i)} \) jeweils mit dem Beginn der zu \( y(x)=3 e^{x}-2(x+1) \) gehörenden Taylorreihe:
$$ y(x)=3 \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}-2(x+1) $$
