Erstmal ist das keine homogene Lösung, sondern die Lösung der homogenen Dgl (hÀufiger falscher Gebrauch von Begriffen).
Du hast richtig (im 2. Versuch, nicht im 1.!) berechnet: \(y_h(x)=c\cdot e^{\sin x}\).
Ebenso richtig: \(c(x)=e^x\). Beachte aber \(e^{x+\sin x}=e^x\cdot e^{\sin x}\), nicht \(+\), hoffentlich nur ein Tippfehler.
Bei der partikulÀren Lösung \(y_p(x)=c(x)e^{\sin x}\) braucht man nur eine einzige, daher ist hier das \(+C\) nicht nötig.
Wenn Du das \(+C\) drin lÀsst, hast Du ist das allgemeinen \(y_p\) gleich die gesamte Lösung und Du brauchst nichts mehr addieren.
Wenn Du es nicht drin lÀsst (dann hast Du nur eine einzige partikulÀre Lösung, s.o.), dann musst Du noch die allgemeine Lösung der homogenen Dgl addieren.
Wenn Du das machst, siehst Du: Es kommt auf's gleiche raus. Und das ist generell so.
Falls das nicht klar ist: Du brauchst keine Lösung vorgeturnt zu kriegen, Du hast ja alles richtig gemacht.