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y'= ycos(x) + ex+sin(x) 

Mein Ansatz: Lineare inhomogene DGL 1 Ordnung

1. homogene Gleichung aufstellen
y' - ycos(x)=0
yh= c*e-F(x) = c*e-sinx

Das kenne ich von der Tabelle, die mir hier schon öfter ans Herz gelegt wurde. Leider habe ich in der Klausur morgen keine Tabelle zu VerfĂŒgung, bei der ich immer nach der passenden Formel suchen kann und versuche hier ohne AbkĂŒrzungen auf die Lösung zu kommen.

2. Trennung der Variablen
\( \frac{dy}{dx} \) = ycos(x)       
∫ 1/y dy = âˆ« cos(x) dx            
ln|y| = sin(x)+c                         | *e^
yh= c*esin(x)  homogene Lösung

3. Variation der Konstanten c = c(x)
y' = c'(x)*esin(x) + c(x)*esin(x)*cos(x)

4. y und y' In DGL einsetzen
c'(x)*esin(x) + c(x)*esin(x)*cos(x) - c(x)esin(x)*cos(x) = ex+sinx
c'(x)= (ex+esin(x)) / (esin(x)) = ex
Integrieren → c(x) = ex + c
ist das jetzt die partikulÀre Lösung? c(x)?

5. Allgemeine Lösung
y= (ex+c)esinx = ex+sinx+c*esinx


Sooo ich komme zwar auf eine Lösung, aber irgendwie fehlt mir der Teil, wo man den partikulĂ€ren (Ist das c(x)??) und homogenen Teil addiert (yp+yh) Was muss ich anders machen?

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2 Antworten

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Hallo,

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Avatar von 121 k 🚀

warte einen kleinen Moment , ich rechne nochmal

Dankeschön (: ich verstehe das nun mit dem partikulÀren Teil!
Eine Anmerkung: Die Störfunktion ist ex+sin(x) und nicht esin(x)

habs jetzt mit der richtigen Aufgabe gerechnet

Super danke (: ich denke ich sollte das Verfahren nun auch bei der PrĂŒfung hinbekommen

Dann alles Gute :)

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Erstmal ist das keine homogene Lösung, sondern die Lösung der homogenen Dgl (hÀufiger falscher Gebrauch von Begriffen).
Du hast richtig (im 2. Versuch, nicht im 1.!) berechnet: \(y_h(x)=c\cdot e^{\sin x}\).

Ebenso richtig: \(c(x)=e^x\). Beachte aber \(e^{x+\sin x}=e^x\cdot e^{\sin x}\), nicht \(+\), hoffentlich nur ein Tippfehler.

Bei der partikulÀren Lösung \(y_p(x)=c(x)e^{\sin x}\) braucht man nur eine einzige, daher ist hier das \(+C\) nicht nötig.

Wenn Du das \(+C\) drin lÀsst, hast Du ist das allgemeinen \(y_p\) gleich die gesamte Lösung und Du brauchst nichts mehr addieren.

Wenn Du es nicht drin lÀsst (dann hast Du nur eine einzige partikulÀre Lösung, s.o.), dann musst Du noch die allgemeine Lösung der homogenen Dgl addieren.

Wenn Du das machst, siehst Du: Es kommt auf's gleiche raus. Und das ist generell so.

Falls das nicht klar ist: Du brauchst keine Lösung vorgeturnt zu kriegen, Du hast ja alles richtig gemacht.

Avatar von 9,7 k

Vielen Dank fĂŒr das Feedback (:

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