inhomogene lineare DGL 1.Ordnung - allgemeines Verfahren

Question

y'= ycos(x) + e^x+sin(x) 

Mein Ansatz: Lineare inhomogene DGL 1 Ordnung

1. homogene Gleichung aufstellen
y' - ycos(x)=0
y_h= c*e^-F(x) = c*e^-sinx

Das kenne ich von der Tabelle, die mir hier schon öfter ans Herz gelegt wurde. Leider habe ich in der Klausur morgen keine Tabelle zu Verfügung, bei der ich immer nach der passenden Formel suchen kann und versuche hier ohne Abkürzungen auf die Lösung zu kommen.

2. Trennung der Variablen
\( \frac{dy}{dx} \) = ycos(x)       
∫ 1/y dy = ∫ cos(x) dx            
ln|y| = sin(x)+c                         | *e^
y_h= c*e^sin(x)  homogene Lösung

3. Variation der Konstanten c = c(x)
y' = c'(x)*e^sin(x) + c(x)*e^sin(x)*cos(x)

4. y und y' In DGL einsetzen
c'(x)*e^sin(x) + c(x)*e^sin(x)*cos(x) - c(x)e^sin(x)*cos(x) = e^x+sinx
c'(x)= (e^x+e^sin(x)) / (e^sin(x)) = e^x
Integrieren → c(x) = e^x + c
ist das jetzt die partikuläre Lösung? c(x)?

5. Allgemeine Lösung
y= (e^x+c)e^sinx = e^x+sinx+c*e^sinx

Sooo ich komme zwar auf eine Lösung, aber irgendwie fehlt mir der Teil, wo man den partikulären (Ist das c(x)??) und homogenen Teil addiert (y_p+y_h) Was muss ich anders machen?

Answer 1

Hallo,

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Comments

warte einen kleinen Moment , ich rechne nochmal

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Dankeschön (: ich verstehe das nun mit dem partikulären Teil!
Eine Anmerkung: Die Störfunktion ist e^x+sin(x) und nicht e^sin(x)

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habs jetzt mit der richtigen Aufgabe gerechnet

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Super danke (: ich denke ich sollte das Verfahren nun auch bei der Prüfung hinbekommen

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Dann alles Gute :)

Answer 2

Erstmal ist das keine homogene Lösung, sondern die Lösung der homogenen Dgl (häufiger falscher Gebrauch von Begriffen).
Du hast richtig (im 2. Versuch, nicht im 1.!) berechnet: \(y_h(x)=c\cdot e^{\sin x}\).

Ebenso richtig: \(c(x)=e^x\). Beachte aber \(e^{x+\sin x}=e^x\cdot e^{\sin x}\), nicht \(+\), hoffentlich nur ein Tippfehler.

Bei der partikulären Lösung \(y_p(x)=c(x)e^{\sin x}\) braucht man nur eine einzige, daher ist hier das \(+C\) nicht nötig.

Wenn Du das \(+C\) drin lässt, hast Du ist das allgemeinen \(y_p\) gleich die gesamte Lösung und Du brauchst nichts mehr addieren.

Wenn Du es nicht drin lässt (dann hast Du nur eine einzige partikuläre Lösung, s.o.), dann musst Du noch die allgemeine Lösung der homogenen Dgl addieren.

Wenn Du das machst, siehst Du: Es kommt auf's gleiche raus. Und das ist generell so.

Falls das nicht klar ist: Du brauchst keine Lösung vorgeturnt zu kriegen, Du hast ja alles richtig gemacht.

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Vielen Dank für das Feedback (: