inhomogene DGL 1. Ordnung lösen

Question

y'-6y = 3*e^6x

Könnte man diese inhomogene Dgl. auf mithilfe der Variation der Kontanten berechnen und wenn ja, wie genau?

Problem/Ansatz:

partikuläre Lösung:

(will das selbe allerdings durch Variation der Kontanten lösen, wobei sich die Werte allerdings aufheben)

yh = K*e^6x

yp = A*x*e6x        yp' = A*e^6x+ 6Axe^6x

yp' -6yp = 3*e^6x

A*e^6x + 6*Axe^6x - 6Axe^6x= 3*e^6x

A*e6x = 3*e6x

e6x[A] = 3*e6x => A= 3

yp(x) = 3*xe^6x + K*e^6x

Answer 1

Hallo,

Variation der Konstanten:

y'-6y = 3*e^(6x)

1.)homogene Gleichung:

y'-6y = 0

dy/dx= 6y

dy/y=6 dx

ln|y|= 6x+C |e hoch

|y|= e^(6x+C) =e^(6x) *e^c

y= e^(6x+C) =e^(6x) * ± e^c ---->± e^c =C1

yh=C1 e^(6x)

2.) C1= C(x) setzen

3.)yp=C(x) *e^(6x)

4.)yp'= C'(x) *e^(6x) +C(x) *6 e^(6x)

5.) yp und yp' in die DGL einsetzen:

y'-6y = 3*e^(6x)

C'(x) *e^(6x) +C(x) *6 e^(6x) - 6 C(x) *e^(6x)= 3*e^(6x) ->C(x) muß wegfallen

C'(x) *e^(6x) = 3*e^(6x)

C'(x)  = 3

C(x)= 3x

6.)yp=C(x) *e^(6x) =yp=3x *e^(6x)

7)

y=yh+yp

y=C₁ e^(6x) +3x *e^(6x)