inhomogene DGL 3.Ordnung Lösen

Question

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe, könnt Ihr mir erklären wie man diese Aufgabe löst?

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangwertproblemes:

y''' -2y'' +y' -2y =e^(2x)  , y(0) =1,y'(0)=y''(0)=0

Answer 1

1.Berechnung charakteristische Gleichung:

k^3 -2 k^2 +k-2=0

(k-2)(k^2+1)=0

k₁= i

k₂= -i

k₃= 2

-------< yh=C₁ cos(x) +C₂ sin(x) +C₃ e^(2x)

2. Ansatz partikuläre Lösung:

y_p= A x e^(2x) -------------->Resonanz

3. Ableiten von y_p:

yp' = A e^(2x) (2x+1)

yp'' = 4 A e^(2x)( x+1)

yp'''=4 A e^(2x)( 2x+3)

4. Einsetzen von yp ,yp' yp'' und yp''' in die DGL:

5 A e^(2x)=e^(2x)

------<A=1/5

y_p= 1/5  x e^(2x)

6. allgemeine Lösung:

y=yh+yp

7. einsetzen der AWB in die DGL

Die Lösung ist 2 Mal abzuleiten, du bekommst ein Gleichungssystem, das du lösen kannst.

Lösung:

y= (e^(2x) *x )/5 /+ 24/25 cos(x) - 7/25 sin(x) +1/25 e^(2x)

Comments

Hi, vielen dank erstmal für die schnelle Antwort!

wie kommst du denn auf

yp' = A e^(2x) (2x+1)

yp'' = 4 A e^(2x)( x+1)

yp'''=4 A e^(2x)( 2x+3) ?

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Also ich meinte die Ableitungen versteh ich schon, aber wieso nimmst du für die Partikuläre DGL yp= A x e^(2x)? Hat das was mit dem vorherigen Ergebnis zu tun?

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Ich habe yp nach der Produktregel ganz normal abgeleitet und dann vereinfacht

und das dann mehrmals.

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die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind:

i -i und 2.

jetzt betrachtest Du die Störfunktion: e^(2x) und dort speziell die 2.

Du siehst , das diese 2 einmal als Lösung in der charakt. Gleichung vorkommt .

Es besteht Resonanz, daher kommt das x und der Ansatz

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http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Seite 1, Tabelle 2. 2.Zeile

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hmm und bei

4. Einsetzen von yp ,yp' yp'' und yp''' in die DGL:

5 A e^(2x)=e^(2x)

wenn ich die ABleitungen in die DGL einsetze bekomme ich

A*(x+21) =1 raus und kann A nicht lösen...  wie kommst du so schnell auf

5 A e^(2x)=e^(2x)?

edit: sorrry sorry grade nachgerechnet.. stimmt schon..^^