Überprüfen, ob \sqrt{\frac1n\sum\limits_{i=1}^nX_i^2} ein erwartungstreuer Schätzer ist.

Question

Aufgabe: Es sei \(\displaystyle X_1,...,X_n\) eine mathematische Stichprobe zu einer Zufallsvariablen \(\displaystyle X\). Ist die Schätzung \(\displaystyle\sqrt{\frac1n\sum\limits_{i=1}^nX_i^2}\) für den Erwartungswert \(\displaystyle\mu\) von \(\displaystyle X\) erwartungstreu?

Ansatz: Für einen erwartungstreuen Schätzer müsste gelten \(\displaystyle\mathbb E\left(\sqrt{\frac1n\sum\limits_{i=1}^nX_i^2}\right)=\mu=\mathbb EX\).

Es gilt \(\displaystyle\mathbb E\left(\sqrt{\frac1n\sum\limits_{i=1}^nX_i^2}\right)=\frac1{\sqrt n}\mathbb E\left(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nX_i^2}\right)\)

Aber ab hier weiß ich nicht weiter.

Comments

Lösung:

Es gilt \(\displaystyle\mu\in\mathbb{R}\) und \(\displaystyle\sqrt{\frac1n\sum\limits_{i=1}^nX_i^2}\in\mathbb{R}^+\cup\{0\}\).

Damit gibt es im Allgemeinen gewisse \(\displaystyle\mu\) für die der Schätzer nicht erwartungstreu ist.