(i)
Es gilt: $$E(X)=\frac { 1 }{ 2 } a$$
erstes empirisches Moment für E(X) einsetzen:
$$\bar { X } =\frac { 1 }{ 2 } a\quad <=>\quad a=2\bar { X } $$
(ii)$$ E(2\bar { X } )=\frac { 2 }{ n } E(\sum _{ i=1 }^{ n }{ { X }_{ i } } )=\frac { 2 }{ n } nE({ X }_{ 1 })=a $$=> Schätzer etreu für a => Schätzer asymptotisch etreu für a
(v)$$ E(\frac { 1 }{ n-1 } \sum _{ i=1 }^{ n-1 }{ { X }_{ i } } +{ X }_{ n })=\frac { 1 }{ n-1 } (n-1)E({ X }_{ 1 })+E({ X }_{ n })=\frac { 1 }{ 2 } a+\frac { 1 }{ 2 } a=a\quad \quad $$=> Schätzer etreu für a
(vii)
Bevorzuge den Schätzer, dessen mittlerer quadratischer Fehler kleiner ist. Da der zweite Schätzer etreu ist, entspricht der MQF der Varianz:$$Var(\frac { 1 }{ n-1 } \sum _{ i=1 }^{ n-1 }{ { X }_{ i } } +{ X }_{ n })=\frac { 1 }{ ({ n-1) }^{ 2 } } (n-1)Var({ X }_{ 1 })+Var({ X }_{ n })=\frac { 1 }{ n-1 } \frac { 1 }{ 12 } { a }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 12 } { a }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 12 } { a }^{ 2 }(\frac { 1 }{ n-1 } +1)=\frac { n }{ 12(n-1) } { a }^{ 2 }$$
