Auch bei anderen aufgaben wird die Ableitung des inneren von ln (x) immer noch hinten multipliziert?

Question

Aufgabe: logarithmisches differenzieren

y = (5x+4)^x differenzieren,

ln (y) = x * ln (5x+4)

y´= Kettenregel: 1* ln (5x+4) + x * 1/5x+4

Das ist meine Lösung, die offiziell Lösung hängt hinten noch *5 dran. Auch bei anderen aufgaben wird die Ableitung des inneren von ln (x) immer noch hinten multipliziert?

Warum?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Wir nutzen aus, dass eine Funktion und ihre Umkehrfunktion ihre Wirkungen gegenseitig kompensieren. Speziell mit Anwendung von \(e^{\ln(y)}=y\) können wir die Funktion umschreiben:

$$y(x)=(5x+4)^x=e^{\ln\left((5x+4)^x\right)}=e^{x\ln(5x+4)}$$

Mit der Kettenregel finden wir nun die Ableitung:$$y'(x)=\underbrace{e^{x\ln(5x+4)}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\overbrace{x}^{=u}\cdot\overbrace{\ln(5x+4)}^{=v}\right)'}_{\text{innere Abl.}}$$

Die äußere Ableitung können wir durch \((5x+4)^x\) ersetzen, die innere Ableitung bilden wir mit der Produktregel (und der Kettenregel):$$y'(x)=(5x+4)^x\cdot\left(\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln(5x+4)}_{=v}+\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{\frac{1}{5x+4}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{5}^{\text{innere Abl.}}}_{=v'}\right)$$$$y'(x)=(5x+4)^x\left(\frac{5x}{5x+4}+\ln(5x+4)\right)$$

Answer 2

Dein "y'" ist nicht \(y'\), sondern \((\ln y)'\).

Und Du schreibst "Kettenregel", wendest aber nur die Produktregel an (und vergisst die Klammern im zweiten Summanden).

Produktregel ist gut, aber dadrin braucht man die Kettenregel. Leite doch mal \(\ln (5x+4)\) ab - da ist was verkettet: \(5x+4\) ist in \(\ln\) eingesetzt, daher "äußere Abl. mal innere". Gibt was?

Anscheinend wird da, mit falscher Notation, ein Kochrezept angewandt.

Sinnvoll ist umzuschreiben: \(y=e^{\ln [(5x+4)^x]}=e^{x\ln (5x+4)}\) und das dann ableiten: Kettenregel und für die innere Ableitung Produktregel (und kleine Kettenregel).

Rezepte auswendig lernen ohne Verständnis ist riskant.

Answer 3

Sowas wie x^x etc. schreibt man als e^(lnx^x) = e^(x*lnx).

Und leitet dann so ab:

f(x) = e^(g(x))

f '(x) = f(x)* g'(x)