Ableitung der Logarithmusfunktion und Umrechnen von log zu ln?

Question

Ich habe eine Funktion gegeben, die abgeleitet werden soll:

f(x) = log(\( \frac{8x+12}{\sqrt{24+16x}} \))        

Wie rechne ich diese log-Funktion in eine ln-Funktion um, damit ich mit der mir bekannten Formel die ln-Funktion ableiten kann.

ln'(x) = \( \frac{1}{k(x)} \) * k'(x)           wobei k(x) die "innere" Funktion ist.

Gibt es vielleicht eine bessere Methode als log in ln umzuschreiben, sodass man direkt die log-Funktion ableiten kann?

:)

Answer 1

Aloha :)

Vor dem Ableiten würde ich den Bruch zunächst vereinfachen:$$\left(\log\frac{8x+12}{\sqrt{24+16x}}\right)'=\left(\log\frac{8x+12}{\sqrt2\cdot\sqrt{8x+12}}\right)'=\left(\log\frac{\sqrt{8x+12}}{\sqrt2}\right)'$$$$=\left(\log\sqrt{4x+6}\right)'=\left(\log(4x+6)^{1/2}\right)'=\left(\frac{1}{2}\log(4x+6)\right)'$$Jetzt kann man mit der Kettenregel die Ableitung hinschreiben:$$=\frac{1}{2}\cdot\underbrace{\frac{1}{4x+6}}_{=äußere}\cdot\underbrace{4}_{innere}=\frac{1}{2x+3}$$

Wenn bei der \(\log\)-Funktion keine Basis angegeben ist, ist damit die \(\ln\)-Funktion gemeint. Sollte die \(\log\)-Funktion eine Basis haben, kannst du das wie folgt in eine \(\ln\)-Funktion wandeln:$$\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}$$

Comments

Das gilt nur, wenn mit log der natürliche Logarithmus gemeint ist. Ich vermute, dass mit log der Zehnerlogarithmus gemeint ist.

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Den Dekadischen Logarithmus kenne ich als \(\lg(x)\). Aber kann schon sein. In Programmiersprachen ist \(\log\) in der Regel \(\ln\), aber auf Taschenrechnern ist \(\log\) oft auch \(\lg\).

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Der Fragestellung "Wie rechne ich diese log-Funktion in eine ln-Funktion um..." entnehme ich, dass log hier wohl nicht ln sein soll.

Answer 2

$$ \log_{10}x=\frac{\ln x}{\ln{10}}$$

Comments

Perfekt, genau danach hab ich gesucht :)

Ich hab das mal anhand dieses Beispiels mal durchgerechnet:

f(x) = log(\( \frac{8x+12}{\sqrt{24+16x}}\))   

      = log(8x+12) - log(\( \sqrt{24+16x}\))

      = log(8x+12) - log((24+16x)^{\( \frac{1}{2} \)})

      = \( \frac{ln(8x+12)}{ln(10)} \) - \( \frac{ln((24+16x) ^{\frac{1}{2}} }{ln(10)} \)

      = \( \frac{1}{ln(10)} \) * ln(8x+12) - \( \frac{1}{ln(10)} \) * ln((24+16x)^{\( \frac{1}{2} \)})

Wenn ich jetzt ableite erhalte ich:

f'(x) = (\( \frac{1}{ln(10)} \) * \( \frac{1}{8x+12} \) * 8) - (\( \frac{1}{ln(10)} \) * \( \frac{1}{(24+16x) ^{\frac{1}{2}}} \)* 8 * (16x+24)\( ^{-\frac{1}{2}} \))

Ist das korrekt und kann ich die letzte Zeile noch weiter vereinfachen?

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Sieht gut aus.

Vereinfachen geht so:

$$f'(x) = \frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{1}{8x+12} \cdot 8 - \frac{1}{\ln(10)}\cdot\frac{ 1}{(24+16x)^\frac{1}{2}}\cdot 8 \cdot (16x+24)^{−\frac{1}{2}}\\ \phantom{f'(x) }=\frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{2}{2x+3}  - \frac{1}{\ln(10)}\cdot\frac{ 8}{24+16x} \\ \phantom{f'(x) }=\frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{2}{2x+3}  - \frac{1}{\ln(10)}\cdot\frac{ 1}{3+2x}\\ \phantom{f'(x) }=\frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{1}{2x+3}  \\$$

Alles klar?