Binomialverteilung: 5 Würfe, in mindestens drei Würfen wenigstens drei Augen

Question

Hallo :)

Könnte mir jemand bei diesem Beispiel helfen:

"Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man bei 5 Würfen mit einem idealen Würfel in mindestens drei Würfen wenigstens drei Augen bei jedem Wurf?"

Ich habe keine Ahnung, wie ich das umsetzen soll. Ich weiß bis jetzt nur, dass ich die Einzelwahrscheinlichkeit ausrechnen von den Augen ausrechnen muss und dass die WSK 1/6 ist. Aber ich weiß nicht wie man die Einzelwahrscheinlichkeit berechnet :/

Würde mich über Antworten freuen :) Das Beispiel könnte nämlich auch zum Test kommen und noch andere, die so ähnlich sind.

lg.

Answer 1

"Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man bei 5 Würfen mit einem idealen Würfel in mindestens drei Würfen wenigstens drei Augen bei jedem Wurf?"

Die Wahrscheinlichkeit mit einem Wurf 'Wenigstens drei Augen' zu würfeln ist 4/6 = 2/3      
Man würfelt weder 1 noch 2.
Mindestens in 3 Würfen heisst
in genau 3 Würfen oder
in genau 4 Würfen oder
in genau 5 Würfen

P(total) = P(in genau 3 Würfen) + P(in genau 4 Würfen) + P( in genau 5 Würfen)

= (5 tief 3)*(2/3)^3*(1/3)^2 + (5 tief 4)*(2/3)^4*(1/3) + (2/3)^5
=  (5 tief 3)*(2/3)^3*(1/3)^2 + 5*(2/3)^4*(1/3) + (2/3)^5              
Bitte selbst in den Taschenrechner eingeben oder hier: 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%3D++%285+choose+3%29*%282%2F3%29%5E3*%281%2F3%29%5E2+%2B+5*%282%2F3%29%5E4*%281%2F3%29+%2B+%282%2F3%29%5E5

Comments

Vielen Dank, ich hab's verstanden und es kommt das richtige raus! :D

Answer 2

 

die Wahrscheinlichkeit, in einem Wurf mindestens drei Augen zu haben, beträgt 4/6 = 2/3 {3, 4, 5, 6 aus den 6 Möglichkeiten insgesamt}.

Die Wahrscheinlichkeit, bei 5 Würfen mindestens drei Mal wenigstens 3 Augen zu haben, lässt sich mit der Binomialverteilung berechnen:

(n über k) * p^k * (1 - p)^n-k

wobei hier n = 5, k Anzahl der "Treffer", p = 2/3, (1 - p) = 1/3

P(3 "Treffer") = (5 über 3) * (2/3)³ * (1/3)² = 5!/(3!*2!) * (2/3)³ * (1/3)² = 10 * 8/27 * 1/9

P(4 "Treffer") = (5 über 4) * (2/3)⁴ * (1/3)¹ = 5!/(4!*1!) * (2/3)⁴ * (1/3)¹ = 5 * 16/81 * 1/3

P(5 "Treffer") = (5 über 5) * (2/3)⁵ * (1/3)⁰ = 1 * (2/3)⁵ * 1 = 32/243

Diese Wahrscheinlichkeiten müssen aufaddiert werden, da es sich um unterschiedliche Ereignisse handelt:

80/243 + 80/243 + 32/243 = 192/243 ≈ 0,7901 = 79,01%

 

Besten Gruß