Bestimme die invertierte Matrix

Question

Aufgabe:

Bestimme A^-1

A= \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich die invertierte Matrix möglichst einfach berechnen? Bei mir kommen Brüche raus...

Comments

Die Inverse einer reellen nichtsingulären 2×2-Matrix \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) lautet \(\dfrac1{ad-bc}{\cdot}\!\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\).

Answer 1

Aloha :)

Für die Inverse eine 2x2-Matrix gibt es folgendes Rezept:

(1) Vertauschung auf der Hauptdiagonalen

(2) Vorzeichenwechsel auf der Nebendiagonalen

(3) Division durch die Determinante.

Die ist sehr nützlich, weil man die Inverse einer 2x2-Matrix in Übungsaufgaben oft braucht:

$$\begin{pmatrix}2 & 1\\4 & 3\end{pmatrix}\quad\stackrel{(1)}{\mapsto}\quad\begin{pmatrix}3 & 1\\4 & 2\end{pmatrix}\quad\stackrel{(2)}{\mapsto}\quad\begin{pmatrix}\phantom-3 & -1\\-4 & \phantom-2\end{pmatrix}\quad\stackrel{(3)}{\mapsto}\quad\begin{pmatrix}\phantom-\frac32 & -\frac12\\[1ex]-2 & \phantom-1\end{pmatrix}$$

Answer 2

Was ist so schlimm an Brüchen? Ob Dein Ergebnis stimmt, kannst Du selbst mit der Probe überprüfen.

Es gibt eine Formel: https://www.massmatics.de/merkzettel/#!305:Inverse_von_2x2-Matrizen

Nutze die.

Answer 3

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \)\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Simultan umformen:

2. Zeile minus 1. Zeile mal 2  gibt

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \)

Erste Zeile minus 2. gibt

\( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)\( \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \)

Erste Zeile durch 2. Dann hast du es. 1,5 und -0,5 sind ja nicht

so schlimme Brüche !