man bestimme die jacobi-Matrix von f(r,φ,z)

Question

es geht um folgende Aufgabe:

1. a) Gegeben sei die Funktion f : R3 → R3 definiert durch

   f (r, φ, z) = (r cos(φ), r sin(φ), z) . 

   Man bestimme die Jacobi-Matrix von f(r,φ,z). 

   
   

   Und

   b) Gegeben sei die Funktion g : R2 → R definiert durch

   g(x1, x2) = (x1 − x2) ln(x1 + x2).

   Man berechne die Richtungsableitung von g(x1, x2) im Punkt P = (−1, 3) in Richtung des Einheitsvektors
   Vektor e=   (e1)
   (e2)                 , e1, e2 ∈ℝ
   
   
   
Entschuldigt bitte die Darstellung des Vektors, der Editor funktionierte nicht.

Kann mir jemand mit einem Ansatz helfen?

LG

Answer 1

Da machst du einfach von jeder Komponentenfunktion die partielle

Ableitung nach jeder Variablen.

cos(φ)      -r*sin(φ)         0

sin(φ)         r*cos(φ)        0

0                    0                1

b)   Jacobimatrix bei (−1, 3)  mal Richtung ( e1,e2) ^T bilden:

ln(x1+x2) +  (x1-x2)/(x1+x2)           - ln(x1+x2) + ( x2-x1)/(x1+x2)

also am Punkt ( -1 ; 3 ) ist die J-Matrix

(    ln(2) +( -4/2)          - ln(2) + (4/2)   )   =    

(    ln(2) - 2                    - (ln(2) - 2 )    )        

und nun da Skalarprod. mit (e1;e2) gibt

e1*(   ln(2) - 2 )  - e2 * (   ln(2) - 2 )   =  ( e1-e2) *  ( ln(2) - 2 )

Comments

Vielen Dank erstmal für die Antworten!Die jacobimatrix habe ich verstanden, auch wie man generell die Richtungsableitung bestimmt.
Ich kann mir nur die partiellen Ableitungen nicht komplett erklären. Kannst du deine Ableitungen eventuell nochmal aufschlüsseln? Also ich denke das ganze geht nach der Produktregel aber ich komme nicht auf die Ergebnisse.Was ich auch noch nicht ganz verstehe ist an welcher Stelle der Punkt (-1,3) einfließt.
Danach wird denke ich mit dem skalarprodukt aus dem Einheitsvektor(1,0) und der jacobimatrix die Richtungsableitung gebildet. Aber die beiden Fragen habe ich noch.
Danke schonmal für die Hilfe!

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Ich kann mir nur die partiellen Ableitungen nicht komplett erklären. Kannst du deine Ableitungen eventuell nochmal aufschlüsseln? Also ich denke das ganze geht nach der Produktregel aber ich komme nicht auf die Ergebnisse.

g(x1, x2) = (x1 − x2) ln(x1 + x2).

genau Produktregel mit u=x1 − x2 und v=  ln(x1 + x2).

wenn du jetzt nach x1 ableitest ist u' = 1 und v ' = 1/ (x1+x2)

also nach P-Regel

g ' (x1,x2) _x1 = 

1*ln(x1+x2) +  (x1-x2)*   1/(x1+x2)  = ln(x1+x2) +  (x1-x2)/(x1+x2) 

bei abl. nach x2 musst du etwas aufpassen, da ist

u ' = - 1   und v ' = 1/ (x1+x2)  also

g ' (x1,x2) _x2 = 

-1*ln(x1+x2) +  (x1-x2)*   1/(x1+x2)  = - ln(x1+x2) +  (x1-x2)/(x1+x2)

und das ist schon alles, weil g von R^2 nach R geht ist die J-Matrix nur
eine Zeile mit 2 Komponenten.

Und am Punkt  ( -1 ; 3 ) ist halt 1= -1 und x2 = 3 und das eingesetzt gibt
  (    ln(2) +( -4/2)          - ln(2) + (4/2)   )

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Vielen Dank für die schnelle Antwort und die Geduld mit meinen "blöden" Fragen!

Hat mir sehr geholfen!

Ein schönes Wochenende!

Answer 2

Jacobimatrix. Du hast Zylinderkoordinaten. Hier profitierst du von einer Entdeckung, die ich so 1971 noch vor dem Vordiplom gemacht habe  ( Du musst mich nur zitieren. ) Einfach ist die Richtung

d ( x ; y ; z )

A  :=   -----------------------------  =      (  1a )

d ( r ; ß ; z )

cos ( ß )  - r sin ( ß )  0

sin ( ß )     r cos ( ß )  0              (  1b  )

0               0           1 

Nach deiner etwas uneindeutigen Notation sollst du aber die Inverse berechnen:

d ( r ; ß ; z )

A ^ -1 =   -----------------------------  =      (  2  )

d ( x ; y ; z )

Ich berechne alles in einem Rutsch in einer Matrixgleichung:

A  A ^ -1 =  1|   |  ( A+ )  *           (  3a  )

Anmerkung. Wie üblich habe ich in ( 3a )  den Umformungsschritt vermerkt, " Stern rechts " bedeutet immer " Matrizenmultiplikation von Links. "

Anmerkung.  ( A+ ) ist die zu A ===>  hermitesch konjugierte ( Zeilen und Spalten vertauscht. ) Mit der Definition

H  :=  ( A+ ) A      (  3b  )

lautet  (  3a  )

H  A ^ -1  =  ( A+ )  |  H  ^ -1  *          (  3c  )  

A ^ -1  =  H  ^ -1  ( A+ )         (  3d  )

Jetzt wirst du fragen; was will ich mit diesem H ? Macht das die ganze Chose nicht komplizierter? Nein eionfacher; das ist gerade das Geheimnis, auf das ===> Courant-Hilbert ( Bd. 2 ) nie kamen. Um H zu finden, musst du in  ( 1b ) rechnen " Spalte Mal Spalte " und kommst auf

H  =  diag  (  1  ;  r  ²  ;  1  )      (  3e  )

(  funktioniert übrigens auch bei ===> Kugelkoordinaten ) die Inverse einer diagonalmatrix ist trivial; viel Spaß ...