Annulator; kleine Beweise; bitte um Hilfe

Question

die Aufgabe lautet wie folgt:

Es sei W ein K-Vektorraum und U,V ≤ W Untervektorräume. Zeigen Sie:

a) (U + V)° = U° ∩ V°

b) (U ∩ V)° = U° + V°

Wobei U° folgendermaßen definiert ist:

U° := {α ∈ V* | ∀ u ∈ U : α(u) = 0}

Leider habe ich die Unterlagen erst gestern bekommen, und haben sogut wie keine Ahnung, was es mit dem Annulator auf sich hat.

Vielen Dank im für Hilfen

Comments

Ich habe da mal einen Ansatz zur a)

f ∈ (U + V)°

⇒ f(u+v)=0 , wobei u ∈ U und v ∈ V

(da f eine lineare Abbildung ist)

⇒ f(u) + f(v) = 0 , wobei u ∈ U und v ∈ V

Und nun komme ich nicht weiter, da fehlen noch einige Schritte, die Begründen, wieso f in dem Schnitt liegt... Könnte man vielleicht das hier machen?

⇒ f(u) = 0 und f(v) = 0 , wobei u ∈ U und v ∈ V

⇒ f ∈ U° und f ∈ V°

⇒ f ∈ U° ∩ V°

q.e.d

Answer 1

Hi Lici,

der Ansatz geht schonmal in die richtige Richtung, es geht hier ja um Mengengleichheit und diese kann man beweisen indem man zeigt, dass jedes Element der einen Menge auch in der anderen Menge vorzufinden ist. Dass man dabei die Linearität verwendet, hast du auch korrekt erkannt.

Aber:

aus  f(u) + f(v) = 0 , wobei u ∈ U und v ∈ V 

folgt nicht f(u) = 0 und f(v) = 0 , wobei u ∈ U und v ∈ V  (*)

Das (*) gilt kannst du aber ganz leicht herleiten, da \(u,v \in  U+V\) ist. Ab dieser Annahme sind deine Folgerungen wieder korrekt und du hast gezeigt (hier war die Linearität noch nicht nötig):

$$ (U+V)^° \subseteq U^° \cap V^° $$

Jetzt musst du noch zeigen, dass \( U^° \cap V^° \subseteq(U+V)^°\) gilt.

Ein Ansatz hierfür wäre z. Bsp:

$$ f \in  U^° \cap V^° \Rightarrow f( u) + f( v) = 0 \quad \forall  u \in U, \ \ v \in V $$

Und ab hier kommst du bestimmt selbst weiter.

Gruß

Answer 2

Ich würde es eher so versuchen:

f ∈ (U + V)°   ⇒   Für alle x   ∈ U + V  gilt  f(x) = 0

also auch für alle   u  ∈ U    f(u) = f ( u+0) = 0

(da  u+0   ∈ U + V  ) also   f ∈ U°  

ebenso      für alle   v  ∈ V   f(v) = 0  , also f  ∈ V°  

also f ∈ U° ∩ V°

Damit ist    (U + V)°   ⊆   U° ∩ V°     #

umgekehrt:

sei    f ∈ U° ∩ V°

also  f ∈ U° und   f ∈ V°

also für alle  u  ∈ U    f(u) = 0 und

v  ∈ V    f(v)  = 0

dann wegen linearität f(u+v) = f(u)+f(v) = 0 +0 = 0

also für alle x = u + v  aus U+V    f(x)= 0

und damit f  ∈   (U + V)°  also     U° ∩ V°    ⊆     (U + V)°   ##

und wegen   # und ## sind die Mengen gleich.